利用向量求轨迹方程.doc

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利用向量求轨迹方程

利用向量求轨迹方程 作者:嵩明县第一中学 吴学伟 利用向量求轨迹关键是将几何问题坐标化、符号化、数量化、以向量为工具,结合平面解析几何中圆锥曲线的定义、将推理、论证转化为运算,求出符合条件的轨迹方程。 材料一:平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中,且,则点C的轨迹方程为______________. 解析:设C(x,y),则,由,且,,得,又代入得,消去即得C点的轨迹方程,是 点评:本题在解答过程中利用向量的运算法则,通过消参化简求出动点轨迹方程,一般地叫做直线AB的向量方程式,本题中的C点轨迹就是由A、B两点确定的直线。 材料二:O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则点P的轨迹一定通过的( ) A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 解析:与是分别与,同向的单位向量,故在的角平分线上,又,故P的轨迹一定通过的内心。 材料三:已知一个圆的直径的端点是、,求证圆的方程是: 证明:设P(x,y)圆上任一点,则,, ,得证。 点评:利用向量求圆的方程比用斜率求证简捷明了,而且可避免对斜率是否存在的讨论。 材料四:已知两点M(-1,0)、N(1,0),且点P使,,成公差小于零的等差数列。 (1)、点P的轨迹是什么曲线? (2)、若点P坐标为,记为与的夹角,求。 解析:(1)设点P的坐标为(x,y),由M(-1,0)、N(1,0)得: ,,, ,, 由于,,成公差小于零的等差数列,等价于: 即 点P的轨迹是以原点为圆心,为半径的右半圆。 (2)、点P坐标为,且 ,,。 点评:本题融合平面向量数量积的坐标表示,求曲线的方程、变量参数的取值范围,涉及平面向量、解析几何、三角函数、不等式等内容,是“在知识交汇点命题”原则的具体体现。 材料五:如图,过A(-1,0),斜率为k的直线与抛物线C:交于P、Q两点,若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形,求点R的轨迹方程。 解析:设P、Q、R三点坐标分别为, ,,则有,,,。 由A,P,Q三点共线知://,, ,。 由四边形PFQR为平行四边可知:, ,. 又。 点R的轨迹方程是 点评:本题若不用向量法,一般采用联立方程,考虑判别式,结合韦达定理的方法,尽管思路清晰,但计算量大,且技巧性强,不易掌握,而利用向量法业解答,简单明快,容易接受。 材料六:如图,已知,定点R的坐标为(0,-3),直角顶点P在x轴上,线段PM交y轴于Q点,且,求当P在x轴上移动时,动点M的轨迹方程。 解析:高P、Q、M三点坐标分别为:,,,则,, 知 , 又, 代入得。 而当时,,此时P、M、Q三点重合,不合题意,故点M的轨迹方程为。 点评:本题利用向量法,避免了解方程组,求线段长度,计算量小,易于理解。 材料七:过点P(2,1)作一条直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程。 解析:设点M的坐标是(x,y), 点M是线段AB的中点,点A的坐标是(2x,0) 点A、M、P(B)在一条直线上, 。 又,, 。 点M的轨迹方程是:。 点评:本题也可以用转化法求点M的轨迹方程,但利用向量求解,利用共线向量的性质使解答过程清晰,计算简单,有明显的优势。 课外练习: 材料四:已知椭圆,直线,P是上一点,射线OP交椭圆于R,又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线? 解析:设(其中、不同时为0)由非零向量、、共线,可设,, 则,,分别代入椭圆方程、直线方程得: …………………………………………(1) ………………………………………………(2) 由|OQ||OP|=得:,即…………………………(3) 由(1)、(2)、(3)消去,整理得: (其中、不同时为0) 所以点Q的轨迹是以(1,1)为中心,长、短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆,去掉坐标原点。 点评:本题借助两个非零向量共线的充要条件,巧设参数、转化已知条件|OQ||OP|=为,使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点。 材料六:过点,作直线交双曲线于A、B不同两点,已知。 (1)、求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (2)、是否存在这样的直线,使若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。 解析:(1)、设直线的方程为, 代入得, 当时,设,,则, 设,由,则 ,解之得 再将代入得……………………(1) 当时,满足(1)式; 当斜率不存在是,易知满足(1)式,故所求轨迹方程为,其轨迹为双曲线; 当时,与双曲线只有一个交点,不满足题意。 (2),所以平行四边形OAPB为矩形,OAPB为矩形的充要条件是,即。 当不存在时,A、B坐标分别为,,不满足上式。 又 化简

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