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利用向量求轨迹方程 作者：嵩明县第一中学 吴学伟 利用向量求轨迹关键是将几何问题坐标化、符号化、数量化、以向量为工具，结合平面解析几何中圆锥曲线的定义、将推理、论证转化为运算，求出符合条件的轨迹方程。 材料一：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为______________. 解析：设C（x,y），则，由，且，，得，又代入得，消去即得C点的轨迹方程，是 点评：本题在解答过程中利用向量的运算法则，通过消参化简求出动点轨迹方程，一般地叫做直线AB的向量方程式，本题中的C点轨迹就是由A、B两点确定的直线。 材料二：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 解析：与是分别与，同向的单位向量，故在的角平分线上，又，故P的轨迹一定通过的内心。 材料三：已知一个圆的直径的端点是、，求证圆的方程是： 证明：设P（x,y）圆上任一点，则，， ，得证。 点评：利用向量求圆的方程比用斜率求证简捷明了，而且可避免对斜率是否存在的讨论。 材料四：已知两点M（-1，0）、N（1，0），且点P使，，成公差小于零的等差数列。 （1）、点P的轨迹是什么曲线？ （2）、若点P坐标为，记为与的夹角，求。 解析：（1）设点P的坐标为（x,y），由M（-1，0）、N（1，0）得： ，，， ，， 由于，，成公差小于零的等差数列，等价于： 即 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆。 （2）、点P坐标为，且 ，，。 点评：本题融合平面向量数量积的坐标表示，求曲线的方程、变量参数的取值范围，涉及平面向量、解析几何、三角函数、不等式等内容，是“在知识交汇点命题”原则的具体体现。 材料五:如图,过A(-1,0),斜率为k的直线与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。 解析：设P、Q、R三点坐标分别为， ，，则有，，，。 由A，P，Q三点共线知：//，， ，。 由四边形PFQR为平行四边可知：， ,. 又。 点R的轨迹方程是 点评：本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法业解答，简单明快，容易接受。 材料六：如图，已知，定点R的坐标为（0，-3），直角顶点P在x轴上，线段PM交y轴于Q点，且，求当P在x轴上移动时，动点M的轨迹方程。 解析：高P、Q、M三点坐标分别为：，，，则，， 知 ， 又， 代入得。 而当时，，此时P、M、Q三点重合，不合题意，故点M的轨迹方程为。 点评：本题利用向量法，避免了解方程组，求线段长度，计算量小，易于理解。 材料七:过点P(2,1)作一条直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 解析：设点M的坐标是（x,y）, 点M是线段AB的中点，点A的坐标是（2x,0） 点A、M、P（B）在一条直线上， 。 又，， 。 点M的轨迹方程是：。 点评：本题也可以用转化法求点M的轨迹方程，但利用向量求解，利用共线向量的性质使解答过程清晰，计算简单，有明显的优势。 课外练习： 材料四：已知椭圆，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？ 解析：设（其中、不同时为0）由非零向量、、共线，可设，， 则,,分别代入椭圆方程、直线方程得： …………………………………………（1） ………………………………………………（2） 由|OQ||OP|=得：，即…………………………（3） 由（1）、（2）、（3）消去，整理得： （其中、不同时为0） 所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆，去掉坐标原点。 点评：本题借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ||OP|=为，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点。 材料六：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知。 （1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。 解析：（1）、设直线的方程为， 代入得， 当时，设，，则， 设，由，则 ，解之得 再将代入得……………………（1） 当时，满足（1）式； 当斜率不存在是，易知满足（1）式，故所求轨迹方程为，其轨迹为双曲线； 当时，与双曲线只有一个交点，不满足题意。 （2），所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是，即。 当不存在时，A、B坐标分别为，，不满足上式。 又 化简