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利用微积分思想研究圆面积与周长的关系 德州二中 葛红 王新岩 研究函数，从量的方面研究事物的运动变化是微积分的基本方法，微积分推动了数学的发展，同时也极大地推动了天文学、力学、物理学等等各个学科及各个分支的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。因此，高中数学教学中有必要向学生逐步渗透微积分思想，对于理解函数的变化关系有很大帮助，下面就利用微积分思想研究圆面积和周长的关系，加深对微积分概念的理解。 我们知道，圆的面积S是半径r的函数，即S(r)=；圆的周长l也是半径r函数，即l(r)=。 利用导数的定义，半径为r的圆的面积S=，若半径r增大△r，则面积S相应的改变量△S就是以r+△r为半径的两个同心圆之间的圆环面积， 即△S=(r+△r)2-=2·△r+(△r)2 当时， 即：S′=2 它的几何意义是圆环的面积近似等于以半径为r的圆周长为底，以△r为高的矩形面积。 我们再利用积分法，计算由圆周长围成的圆的面积，以圆的圆心为坐标原点，以圆面所在平面为坐标平面，如图：将区间[0,r]等分为n个小区间。 即： [0，]每个小区间的长度为 △r=以小区间的左端点的长为半径的圆的周长为底，以△r为高作小矩形，则小矩形的面积依次为…，…， = = = S= 利用微积分定义可知，时，即视为圆的面积，也就是说圆的面积即为圆的周长l=2在[0，r]上的定积分。 即：S 因此，对r的导数为l=2，即S′=2;而圆的周长在[0，r]上的定积分为圆的面积，即 同理，我们还可以利用微积分思想来研究球的表面积S=4与球的体积V=之间的关系，事实上，V′=S=4 而 教材中渗透分割，求和、取极限和化曲为直，又积直为曲的微积分思想从特殊到一般，注意深入浅出，对中学生来说越过这些障碍完全可能。 通过以上的例子，我们能看到，微积分在高中数学中对我们来研究函数间量的运动变化起着很重要的桥梁作用。因此，想通过上面的例子加深对生积分概念的理解，能对高中数学微积分的学习有所帮助。 以上是我的一点浅显的见解，若有不当之处，请老师们批评指正，希望能共同切磋，共同进步。