半导体讲座课堂论文_Review of Monte Carlo Method.doc

Review of Monte Carlo Method 姓名: 宋肇宁 学号:18120051202954 厦门大学物理系 361005 Email: xmuszn@126.com 手机:+86摘要: 本文通过对蒙特卡罗方法进行的较全面的回顾，概括性的总结了蒙特卡罗算法的核心特征。并通过计算定积分、随即过程和模拟实验的例子说明了蒙特卡罗方法的应用。对目前的蒙特卡罗方法应用领域和研究前沿进行了简单讨论，并对蒙特卡罗方法的未来进行了展望。 关键词: 蒙特卡罗 定积分 随机过程 统计模拟 1、Overview of Monte Carlo method (1)What is Monte Carlo method 什么是Monte Carlo方法？首先看下面这个例子 图1 Battleship游戏图 右图是Battleship游戏的一个示例。游戏规则为：一个游戏者在一个确定的棋盘区域(如图中为8×8格)随机布置战舰，战舰有一定的大小（如图中为1×4格）。另一个游戏者每回合可以选择一个格点作为攻击位置，若该格为战舰，则表示为击中（红点），若没有战舰，则表示为落空（白点）。当战舰上所有点都被击中时，战舰被击沉。击沉战舰所用回合数少者为优。 参与游戏者在游戏过程中使用的怎样的策略？首先，游戏者在棋盘内随机选择攻击点。然后游戏者进行一些演算(战舰为四个，可能排布在横向或纵向)。最后通过对得到的样点和演算，游戏者可以判断出战舰的位置。游戏者的这种计算方法即为Monte Carlo方法。 Monte Carlo方法（MC方法），又称之为随机取样（Random Sampling）、统计模拟（Statistic Simulation）或统计试验（Statistic Testing）方法，是一类利用随机数的统计规律来进行计算和模拟，由此来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）计算方法。 这里所指的MC方法，不是一种单一的计算方法，而是一类在计算机模拟实验中被广泛应用方法的总称。通过比较可以发现，这一类的方法普遍具备了如下的四个特征： ①产生的变量有确定的定义域(Defined domain)。 ②变量是随机的产生(Random Generation)。 ③对做产生的随机变量进行确定的运算(Deterministic Computation)。 ④通过对每个变量值运算结果的统计得到最终结果。(Statistic Result) 下面通过一个经典的例子来说明上述四个特征在MC方法应用中的表现： 一个半径 r = 1的圆内接于边长L = 2的正方形中，我们有： ； 即有 。 利用计算机程序在正方形内随机产生N个点，记每个的坐标为 对于第i个点： 判断是否满足，若是则记，（n为落在圆内的点的数目） 否则判断下一个点。 当N值取很大时，可以认为： 则： 通过Matlab语言编程，笔者得到的一组数据： 分析上述过程我们可以看到Monte Carlo方法的基本特征：首先，我们确定一个取值的定义域（这个问题中为圆外接的正方形区域）。然后，随机产生一个点（产生点的坐标）。接着，对该点进行运算（计算该点是否在圆内）。最后，集合所有数据并由此得出结果，的近似值。同时从结果可以看出的计算精度和N有关，N取值越大，的计算精度越高。 (2)History of Monte Carlo method 1777年，法uffon提出用投针实验的方法求圆周率。被认是蒙特卡罗方法的起源Buffo投针实验d的平行线，见图。 ②取一根长度为的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m。 ③计算针与直线相交的概率。 图3 Buffon投针实验示意图 由分析知针的位置有随机向量决定，其中A为最近邻边到远端针尖的垂直距离，为针与水平线夹角。其取值范围为：。随机向量在的空间内均匀分布，故其几率密度为。则针与其中一条线相交的几率可以由下面的积分决定： 假定Buffon实验中投针次数为n，M为针与线相交的次数，则针与直线相交的几率为： 其中E表示多次实验M的期望值。注意到上述两式表示同一个概率，其值应该相等，故可以从下式求得： 而普遍认为我们当前所应用的MC技术，其发展约可追溯至19世纪三四十年代。那些著名的物理学家们——Stanislaw Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann, 和 Nicholas Metropolis通过在高能物理的研究时应用计算机算法程序，使得“Monte Carlo Method”这个名字普及开来。“Monte Carlo”的名称取自于Monaco（摩纳哥）内以赌博娱乐而闻名的一座城市，据说Ulam的叔叔常在当地的赌场里赌博。