取石子游戏的几种变形.ppt

证明 按照NimGame法则取完石子后，必定会给对手留下⊕值为0的局面。因此不可能给对手留下2）的局面（容易证明，2）局面的⊕值肯定不为0），而对手一次最多将一堆石子数大于1的石子堆处理掉。因此2）的情况肯定会出现。 相反，若⊕值为0，则无论如何走都会给对方留下2）或3）的情况，必败。 实例 n = 4, {1,1,2,2} 第一步若拿掉一堆为2的石堆，则只剩一堆1的石堆。必败。 若拿掉一堆为1的石堆，对方也拿掉一堆为1的石堆，无论我们接下来怎么取，都只剩一堆1的石堆。必败。 在一堆为2的石堆中拿掉一颗石子，只剩一堆1的石堆。必败。 n = 4,{1,1,2,3} 我们可以在3的石堆中拿掉一颗石子，变为一个xor值为0的必败状态，所以必胜。 A stone game 一堆石子有n颗，两个人轮流从中取石子，第一个人第一步最多取n-1颗，接下来每一步，假设上一步取了x颗，当前取石子的人最多可以取k*x颗，当然一个人不能一颗石子也不取。取走最后一颗石子的人获胜。假设两个人都使用最优策略，请问对于给定的n,k先手能否获胜？ 分析 定义x为绝对必败态，当且仅当无论何种情况下只要走到了这个状态，那么先手必然失败的状态。 假设前1..i-1个绝对必败态p[1]..p[i-1](p[1]=1)。 p[i-1]+1,p[i-1]+2,…,p[i-1]+m都是必胜态的充分条件是：k*mp[i-1]。（先手可以走到p[i-1]的状态同时第二个人不能一次把所有石子拿走 ） 分析 那么是不是m+1就是必败的呢，事实上我们也可以选择不直接跳到p[i-1]去，这时问题转化成了一个(x-p[i-1])的子问题，即看谁会被迫先走到p[i-1]的绝对必败态去 。 接下来的第一个必败态是p[i-1]+p[j]，其中p[i-1] + p[j]=m。 实例 当k=10时，假设当前已经求出的必败态集合是 {2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 15 17 19 21 24 27 30 33 37 41 46 51 57 63 70 77 85 94 104 115 }。 我们要求后一个必败态，m = (115 / 10) = 11 , p[j] = 13 , p[j - 1] = 11; 显然从116-126都是必胜的，他们可以转化到115这个必败态，那127呢？我们可以取1个石子，转移到126，显然这时126无法取到足够多的石子转移到115，它成为必败态，于是127也是必胜态。而128 = 115 + 13 则成为了必败态，因为无论是转移到127还是126它都使下一个状态必胜，这里的p[j] = 13 , p[i-1] = 115 ,所以 p[i] =128。 SGU429 有n堆石子，将这n堆石子摆成一排。游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。 问：对于任意给出一个初始一个局面，是否存在先手必胜策略。 分析 设fleft[l][r]表示对于Al,…Ar当Al取多少时（其余的A值不变），这个状态是必败的。同理可设fright[l][r]。 只考虑(Al,Ar)的组合，我们说(X,Y)是个必败态当且仅当X,Al+1,..,Ar-1,Y是一个先手必败的状态 。 分析 首先得到2个初始的必败态，即(0,fright[l+1][r])和(fleft[l][r-1], 0),同时必败态应满足以下条件： 每行有且仅有一个必败态。 每列有且仅有一个必败态。 这是因为如果（p,x）,(p,y)都是必败态，不妨设x=y,那么(p,y)可以转移到（p,x）去，矛盾。 计算 设L=fleft[i][j-1]，R=fright[i][j-1]，x=Aj，则fleft [i][j]由以下方式确定：不妨设L≥R， 当xR时，fleft[i][j]=x； 当x=R时，fleft[i][j]=0； 当R＜x≤L时，fleft[i][j]=x-1； 当xL时，fleft[i][j]=x。 同理可确定fright[i][j]。 实例 fright[l+1][r]=8，fleft[l][r-1]=6。 失败状态为：(0,8),(6,0),(1,1),(2,2),..,(7,6),(8,7),(9,9),(10,10)。 SPOJ4060 有n个石子放成一堆。A和B轮流操作，A先手。操作为投掷一枚硬币，如果正面朝上、则从石子堆中取出一枚石子。A有P的概率投出他想投的面，B有Q的概率投出他想投的面。（P,Q≥0.5）问A赢的期望。 分析 A先手，双方都希望投正面，A，B得到石子的概率分别是： PR1 = p/(1-(1-p)(1-q)); （等比求和） P