可测集及其测度.doc

3.3可测集及其测度 前面我们介绍了外测度的概念，也讨论了它的一些简单性质，但是外测度还不是“长度”的推广，这一节我们介绍测度的概念。 一 可测集及其测度概念 定义1 设, 若对任何点集, 均有 (1) 则称为Lebesgue可测集, 简称为可测集, 或称可测. 称可测集的外测度为的Lebesgue测度, 简称为测度, 记为. 可测集的全体称为可测集族, 记为. 条件(1)称为Caratheodory条件. 注1 由于，所以的可测性就表现为：可把任意的集合分解为其外测度满足可加性的两部分：和(这二者之间的距离未必大于零). 同时, 由外测度的次可加性, 要证明集合可测, 则只需证明 . (2) 2. 按定义, 测度是定义在可测集族的非负广义实函数, 具有单调性、次（可数）可加性等性质 由定义知道 空集和都是可测的. 外测度为零的集合是可测的, 这是因为, 所以由单调性和次可加性得 自然的有如下的结论: 可列集是可测的, 至多可列个可数集的并也是可测的, 至多可列个外测度为零的集合的并是可测的. 称测度为零的集合为零测集, 当然, 零测集的子集也是零测集. 定理1 可测当且仅当对, 有 . (3) 证明 一方面取, 由假设条件得到 ; 另一方面, 对任意的, 有,, 所以由(3)自然得到的可测性. 定理2 可测当且仅当可测. 定理3 若均可测, 则也可测, 且当时, 对于任何的集合总有 (4) 特别的取, 则有 . (5) 证明 首先, 对任意集合, 成立 所以由的可测性和外测度的次可加性得到 从而 , 也即可测. 其次, 因为, 所以对任意集合, 有 由的可测性和定理1得到 . 推论1. 若都可测, 则也可测, 且当两两不交时, 对于任何的集合总有 . 定理4. 若都可测, 则也可测. 证明 因为, 所以由定理2和推论1就得到结果. 定理5 若均可测, 则也可测, 并且当时, . 证明 因, 所以由定理2, 4得到是可测的. 而, 所以, 且, 由定理3就得到 , 又, 所以可以移项. 定理6 若是一列两两不交的可测集, 则也可测, 且对于任何的集合总有 , . 证明 (1) 证对任何的集合总有. 由推论1, 对任何, 可测, 所以由集合的两两不交性和推论1得到 令, 并利用外测度的次可加性得到 这就得到是可测的. (2) 而由外测度的单调性和推论1知道 令, 就有, 而反向的不等式是显然的, 故有 在上面的等式中取, 并注意到这时外测度就是测度就得到结论. 定理7 若是一列可测集, 则也可测. 证明 因为可以表示为不交的集合的并 由定理3,5,7及其推论即得证. 用对偶定理和前面的定理容易得到 定理8 若是一列可测集, 则也可测. 这几个定理实际上说明了这样一个结果: 可测集族是一个代数, 且保持可列可加性(在不交并时). 定理9 若是一列单增可测集, 则. 证明 因为(), 且右端是两两不交的可测集的并, 所以 定理10. 若是一列单减可测集, 且, 则. 证明 因为是一列单减集且, 所以对任意的, 有. 此时集列是单增的可测列, 对它用定理9, 就有, 左端等于, 右端, 这就得到结果. 注 定理10中的有界性不可去掉, 如 则, 一些简单的结论: 命题1 设为可测集, 为定义在上的实函数, 则以下几条等价 1., 可测 2. , 可测 3. , 可测 4. , 可测 命题2. 设是一列可测集, 若, 则. 命题3. Cantor集的测度为零