含参不等式恒成立问题的求解方法.doc

含参不等式恒成立问题的求解方法 在解决含参不等式问题时，数形结合思想，函数的单调性，函数的最值，主参变更，基本不等的式使用等，都是行之有效的方法． 下面我们结合实例，介绍这类问题的集中求解策略． 1 分离参数法 含有参数的不等式问题至少有两个变量，将两个变量分离，再通过求函数最值的方法解题，这是解决这类题目的最常用方法． 例1.1 已知，是参数，当时，有成立，求的取值范围． 分析　题目中有,两个变量,由题意先得到关于与的关系式，.通过变形将与分别置于不等式的两边， 即要使得不等式恒成立,只要不小于的最大值即可，从而把题目转化为求函数最值问题． 解　由题意，所以有，，即在时恒成立． 令 ，由，所以，则：所以，，当时恒成立． 因为在上有最大值，所以有在时恒成立． 这种方法是解决参数不等式恒成立问题最常用的一种方法，也体现这类问题的常规性，不仅是函数问题，在数列问题中也很适用 ． 例1.2 求所有的实数k，使得不等式对任意的都成立 解　当时，有， 　 又当时，有， ． 因此． 下面证明不等式 ⑴ 对任意的都成立． 对一切，有，既 所以， ． 将上面的4个等式相加，使的⑴式成立． 故欲求的实数． 说明　本题先取特殊值猜测k的值，进而证明猜测成立，这种“先猜后证” 的方法是解决这类问题的常用方法，另外证明的，也可设，，运用导数知识证明成立． 2 构造函数 间接求解 通过构造函数，先求出函数在给定范围内的最值，再求出参数的取值范围，其依据是:设函数在给定范围内的最大值是，最小值是，若不等式在给定范围内恒成立，则，若不等式在给定范围内恒成立，则am． 例2.1 设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围． 解析　构造辅助函数，原问题变为对所有的恒成立，注意到，故问题转化为在时恒成立，即函数在为增函数，于是可通过求导判断函数的单调性,并求出使成立的条件． ， 由 得 ， 当 时， ； 当 时， ，为减函数． 那么对所有的，都有，其充要条件是，故得的取值范围是． 假若我们没有注意到，那么在解对所有的恒成立时，也可转化为，再以导数为工具，稍作讨论即可以得解． 本题还可以采用参数分离法求解． 由对所有的恒成立可得； ； ， 设，问题转化为求在开区间上的最小值或下界，，试图通过直接求得稳定点，困难重重．退一步令，因为，故，则在单调递增，即．从而，于是在单调递增，故无最小值，此时，由于无意义，的下界一时也确定不了，但运用极限知识可得：，然而求这些极限又超出所学的知识的范围，于是大部分考生被此难关扫落下马，无畏而终，事实上采用洛比达法则可得，．故时， ，因而 ． 综合得的取值范围是 说明　此题通过换元变形，构造出新的函数，间接求解，简化了问题，求参数的范围也转化为函数最值问题，可见，利用函数的性质来处理含参数的不等式问题也是很有效的． 例2.2 已知不等式对于 恒成立，求a的取值范围． 解　设，则，， 从而，原不等式可以化为 ，即 整理得　　　　　　　　　⑵ 因为　　，　　所以 　， 不等式⑵恒成立恒成立．易知在上递减，则），所以，的取值范围是． 说明　此题通过换元变形，构造出新的函数，间接求解，简化了问题，求参数的范围也是转化为函数的最值问题．可见，利用函数的性质来处理函数的不等式问题是很有效的． 3 利用二次函数根的分布解题 把不等式转化为一元二次不等式，利用二次函数根的分布特点，同样也可以 求解可以求解恒成立问题． 例3.1 设为实数，函数在和都是增函数，求的取值范围． 解析　有关三次函数的单调性问题，实质就是二次函数在相应的区间上恒正（或恒负）的问题，所以由在和上恒成立, 即: 　　 　 ①　　　 或　　． 　 　 ② 由①得，由②得或． 综上得：． 例3.2 不等式对恒成立，求实数的取值范围． 解　因为，所以原不等式等价于 ，即 ． 　，解得 ． 故实数的取值范围为． 4 数形结合 ，直观求解 先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定范围内函数与函数图象之间的关系,列出条件，求出参数的取值范围． 例4.1 已知函数与，若恒有成立，试求实数的取值范围． 解　由题意 ，令 ， ．如图1， 当直线与半圆相切时， ， 有 ，得：，又， 所以，此时．所以要使，只需 ，得．综上可得：时成立． 事实上，本题也可以用分离参数的方法求解，，其中，然后利用导数或三角换元求最值得解，数形结合的方明显较简洁． 例4.2 不等式在 恒成立，求的取值范围 解　令，，则在时，函数的图象总在函数的图象的下方．如图2： 因为，所以 得 又 在单调递增，所以 ． 1