定态微扰论和变分法.doc

定态微扰论和变分法 量子力学体系的哈密顿算符不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解，这样近似方法在量子力学中就显得十分重要。主要介绍两种应用最广的近似方法：微扰论和变分法。 微扰论是各种近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部分，是本章学习的重点；变分法特别适用于研究体系的基态。两种方法配合使用可以得出精确度较高的结果。 1 定态微扰论 求解定态薛定谔方程 （1） 时，若可以把不显函时间的分为大、小两部分 （2） 其中 （1）的本征值和本征函数是可以精确求解的，或已有确定的结果 （3） （2）很小，称为加在上的微扰，有时为了表达这种微扰的程度，常引入一个很小参数（），将微扰写成 下面以分离谱为例，分两种情况进行讨论。 1.1 非简并态微扰论 （1）微扰对非简并态的影响 非简并态是指的每一个本征值只有一个本征函数与之对应，当加上微扰时，，所以，，即微扰的出现是能级和波函数发生变化。 （2）微扰的基本思想就是以逐步近似的精神求解薛定谔方程。当 （4） 时，受微扰后的能级和波函数以的幂级数展开 （5） 与称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、… 把（4）、（5）式代入薛定谔方程（1）中，得到以的幂次区分的一系列方程 （6） （7） （8） 求解以上方程便可得能量和波函数的一级修正、二级修正、… （3）各级修正公式 零级近似：由（6）式可得零级近似即为、. 一级修正：首先将用展开 （9） 代表求和项中不包含项，这是因为附加在上仍是（6）式的解。代入（7）式 将上式两边同乘以并对空间积分，注意及的正交归一性，得能量的一级修正为 （10） 能量的一级修正等于在态（零级近似）下的平均值。 将上式两边同乘以，并对空间积分，可得 定义 （11） （11）式微扰矩阵元，它是微扰计算的核心，也是微扰计算的难点，这样便有 （12） 代回（9）式，得波函数的一级修正为 （13） 二级修正：设，代入（8）式，用同样的代算方法得能量的二级修正 （14） 最后写成 （15） （4）说明： ①用微扰矩阵元求时，要“对号入座”，如 ②要充分利用对称性，以减少计算量 ③在有些问题中，，这时有必要计算能量的二级修正值；若，一级修正已够用。至于，一般求和项不可能全为零，故，一级修正即可。 （5）关于微扰论的适用范围 微扰公式成立的条件为 或 （16） 两点说明：一是要求微扰本身应很小，二是要求能级间隔较大，二者是相对的。 例题1 设氢原子中价电子所受有效作用势为 其中，，。试用微扰论公式计算基态能量。 解：因为 所以 由决定的基态能量和波函数为 基态能量的一级修正为 基态能量的一级近似为 例题2 假设氢原子核不是点电荷，而是半径为的带电球壳，这时