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恐龙捕食问题 摘要 本文对恐龙的捕食追击问题做出了一系列合理的假设，用物理学中的旋转坐标系法和运动学原理建立追击模型。我们分析了两种情况：一、单只恐龙追击。二、两只恐龙追击。两种情况下，分别考虑了大恐龙对小恐龙转弯的反应时间＝0和≠0的情形。 对于单只恐龙追击问题， ＝0时等价为直线追击问题。这时，小恐龙能否逃生完全由两只恐龙之间的初始距离决定的。当时，小恐龙可以逃脱，否则，小恐龙将被大恐龙捕获。 ≠0时，若（为小恐龙的转弯时间）, 在不同的初始转弯距离下，我们通过计算机模拟可以得到不同的BB的可逃生角度范围，即如果BB选择这个范围内的一个角度，然后持续以这个角度进行转弯逃跑，即可逃生。 若，如果认为两只恐龙之间的初始距离即为小恐龙的初始转弯距离，则小恐龙始终无法逃脱。 对于两只恐龙追击问题，我们分为两个阶段解决，阶段一：（为时刻t时恐龙剑的距离，为小恐龙转弯时的临界距离）时，BB沿着直线逃跑，AA1和AA2朝着BB逃跑的方向追赶。阶段二：，经过简化，转化为单只恐龙的追击问题。 在模型扩展中，我们考虑了转弯速度与转弯半径都随时间发生变化和小恐龙每次转弯角度可以发生变化的情况，以及两只恐龙追击时，三只恐龙初始位置任意的情况。 关键词 旋转坐标系法，追击模型，可逃生角度范围。 问题的重述 AA和BB是生活在恐龙时代恐龙家族的两大成员：BB为草食性动物，AA则专门以捕食BB为生。相对于BB，AA身体较长，奔跑速度快，但是要相对笨拙，转弯半径大，而且只能在在一段很少的时间内以较BB快的多的速度追逐后者，但超出这一时间AA就无法捕捉到BB了。 问题一：模拟这两种恐龙的捕食和逃跑行为，找出AA在捕食BB时的最佳位置选择，或者说在任意给定二者的初始位置，讨论AA捕食BB成功的机会； 问题二：也可以考虑多只AA同时捕食BB的情况，不妨就考虑两只AA同时捕食一只BB。 为此你需要假定AA和BB的体长，最大奔跑速度，最小拐弯半径以及AA在以最快速度追逐BB时所能持续的时间等等，根据需要做出合理的假设。 问题的分析及符号说明 问题分析： 由于题目中所给的条件不多，需要首先对题目做出合理的假设，选取适当的变量。对于问题一，大恐龙AA小恐龙BB速度快，因此在沿直线奔跑时如果距离足够近就一定可以追到BB。但是由于AA比较笨拙，存在反应时间，因此当BB改变奔跑方向后，AA要经过一定的反应时间之后才能继续追击AA，且他的转弯半径要比BB的大，这样在两者距离特别近的时候，BB可以通过不断的转弯来拉大与AA之间的距离或者是拖延AA的追捕时间，耗费AA的体力，从而最终逃脱。我们就是要考虑这些条件的影响，给出合理的模型，并求解出AA和BB的奔跑策略。 对于问题二，需要研究两只大恐龙AA1和AA2同时追逐一只小恐龙BB的情况，AA1和AA2可以从不同的方向角度同时追逐BB，这样就限制了BB的奔跑方向，从而使在相同的距离下，追到BB的可能性更大一些，这样需要考虑AA1与AA2从怎样的位置开始追击BB效果更好。 符号声明： AA，BB 分别表示大恐龙和小恐龙 分别表示AA和BB的最大奔跑速率 表示AA，BB的最小的转弯半径 　　　 表示AA以最大速度奔跑所能持续的时间 表示BB发现AA时两者之间的距离 表示BB开始改变逃跑方向进行转弯时，AA与BB间的距离，也称初始转弯距离 表示AA与BB在持续时间到达时的最终距离，如果AA捕食BB成功，则最终距离为，如果不成功，则代表AA与BB最终的真实距离。 表示t时刻AA和BB间的距离 表示BB的转弯角度 表示BB在参考坐标系中的位置 　　　 表示BB相对于AA的速度 表示AA看到BB转弯时的反应时间。 表示在一定的参数条件下可逃生角度范围。即存在一个角度范围＝，BB持续以转弯即可逃脱。 表示可逃生角度范围差，即＝。 说明：在具体求解时我们以如下数据为例分析：，，，，， ，， 模型假设 假设两个恐龙身长分别为，重心位于身体中心处，在奔跑时可以看作质点。 假设恐龙的追击区域是平坦的，没有任何障碍物。 假设当大恐龙与小恐龙之间的距离为时，小恐龙察觉到大恐龙，开始 逃跑，大恐龙开始追击。同时，假定两只恐龙同时启动，并且在启动时刻速度立刻达到最大值，不考虑加速时间。 假设两只恐龙在奔跑和转弯时速率始终保持最大速率不变。 假设若大恐龙在时刻内仍没有追到小恐龙