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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第03讲 指数函数与对数函数
数学高考综合能力题选讲3
指数函数与对数函数
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
指数函数与对数函数都是非常重要的初等函数,也是我们在高中阶段研究函数问题时主要的载体.其它初等函数与之相复合,所得到的新函数的定义域、值域、单调性,以及它们与不等式的综合常常成为考查的核心.
范例选讲
例1.已知,其中.
(1)试求的定义域和值域;求出的反函数;
(2)求出的反函数;
(3)判断函数的奇偶性和单调性;
(4)若实数满足,求的取值范围.
讲解 (1) 由于,所以,函数的定义域为R.
为求的值域,观察函数的解析式.注意到其实是一个单调函数()和一个非单调函数()之和,因此,的单调性并不能通过简单判断很快得到.
解决这个问题,我们可以有下面的两种选择:
一、从单调性的定义出发.即任取,且,比较的大小关系,这种方法留给同学自己完成.
二、通过刚才的观察,很快可以看出:在上单调递增,此时,的取值范围为;
当时,,因此,若令,则
由,则可知:此时的取值范围为.
又时,.所以,函数的值域为.
所以,函数的值域为R.
(2)设,则=,利用与互为倒数,可得=,所以,.
所以,=,R.
(3)任取R,则==,所以,函数为奇函数.
任取,且,则由及指数函数的性质可知:
,,
所以,,即.
所以,在定义域内单调递增.
(4)由得:,即:
结合的单调性可知:上式等价于:,解之得:.
点评 ①定义域是研究函数的基础.求值域、判断奇偶性、单调性、研究函数图象等都应先从定义域出发.②从定义域出发,利用函数的单调性,是求函数值域常用的方法.
例2.已知函数,对定义域内的任意都有成立.
(1)求实数的值;
(2)若当时,的取值范围恰为,求实数的值.
讲解:(1)由及可得:
解之得:.
当时,函数无意义,所以,只有.
(2)时, ,其定义域为.
所以,或.
①若,则.
为研究时的值域,可考虑在上的单调性.下证在上单调递减.
任取,且,则
又,所以,,即.
所以,当,在上单调递减
由题:时,的取值范围恰为,所以,必有,解之得:(因为,所以舍去)
②若,则.又由于,所以,.
此时,同上可证在上单调递增(证明过程略).
所以,在上的取值范围应为,而为常数,故的取值范围不可能恰为.
所以,在这种情况下,无解.
综上,符合题意的实数的值为,
点评 本题(2)中,充分的运用已知条件,可以减少分类讨论的次数.
高考真题
(1989年全国高考)已知a>0且a≠1,试求使方程
loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围.
(1990年全国高考)设f(x)=lg,其中a是实数,n是任意给定的自然数,且n≥2.①如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围;②如果a∈(0,1),证明2f(x)<f(2x)当x≠0时成立.
(1991年三南高考)已知函数f(x)=⑴证明:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;⑵证明:对不小于3的自然数n都有f(n)>
.
[答案与提示:1. 当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解;2. a的取值范围为,(2)可用数学归纳法证明;3. 略.]
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