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2012年江苏省中学数学奥林匹克夏令营讲座 组合初步（竞赛题） 例题： 1、（2012年5月日本算数奥林匹克广中杯试题） 例如，将520和12连写可以组成52012，将5和2012连写也可以组成52012，将5、201和2连写，或者将5、20、12连写，组成的当然也是52012。 那么，将若干个（至少两个）正整数连写，组成2012012012012的方法有 种.～.问共有 种不同的填法. 3、（2011年8月，中国数学会“我爱数学夏令营”第二试试题） 若且及.则满足条件的有序四元整数组的个数为___________. 两条平行线上共有k个点,用这k个点恰可以连接1309个三角形, 那么k是多少？ 用长度分别为的木条去摆三角形三边长度分别为, , 则 最多有 种不同的取法 6、（2010年元月，第十四届全国华杯赛总决赛补赛试题） 将数码1，2，3，4，5，6，7排成一行，满足下列2条件：（1）至少有一个偶数数码k排在左起第k位；（2）任意连续3个数码之和都是3 的倍数. 问：满足上述条件的排列最多有多少种？写出所有的排列. 7、（2010年8月，中国数学会“我爱数学夏令营”第二试试题） 王强有四种颜色的小圆棒，下表列出不同颜色圆棒的长度. 颜色 绿 粉红 紫 红 长度 3cm 4cm 8cm 9cm 现要取若干根小圆棒接起来连成长度为2010 cm的长棒，而且四种颜色的小圆棒每一种都至少用81根，那么不同的取法共有 __________种. 设，则自然数x，y，z的乘积能被10整除的情形有 种. 若干支球队分成4组，每组至少两队，各组进行单循环赛（组内每两队都要比赛一场），共比赛了66场. 问：共有多少支球队? （写出所有可能的参赛队数） 10、（考虑递推） （1）、身高两两不等的6个人排成一列，每个人都比前面的人高或都比前面的人矮.则符合条件的排法数有 种（用数字作答）. 2）、整数1，2，…，n的排列满足：每个数或者大于它之前的所有数，或者小于它之前的所有数. 试问有多少个这样的排列？ 11、平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共顶点，最多可以选出多少个三角形？如果要求其中任何两个三角形没有公共边，最多可以选出多少个三角形？ 作业： 1、（2011年3月，全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题） 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有__________种。（用组合数符号表示） 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有种关灯方法。 2、，是的子集，且满足，，那么满足条件的子集的个数为 ． 答案：185。 3、（2012年6月日本算数奥林匹克决赛广中杯试题） m×n的矩形被分成边长为1的小正方形。在每个小正方形里画出两条对角线。考虑在这个图形中将若干个小等腰直角三角形的区域涂黑的方法数，且任何两个有公共边的区域不能同时涂黑。 例如，m=1，n=1时，将2个区域涂黑的方法有下列2种：（即使旋转或翻转后相同，也视为不同的方法） m=2，n=1时，将4个区域涂黑的方法有下列3种： m=3，n=3时，将18个区域涂黑的方法有多少种？ m=3，n=3时，将17个区域涂黑的方法有多少种？ m=40，n=30时，将2399个区域涂黑的方法有多少种？ m=40，n=30时，将2个区域涂黑的方法有多少种？恰有一个数码是6，且能被3整除不大于2009的自然数共有多少个? 5、有20名歌手参加的比赛中，9名裁判员分别给他们判定从1~20的名次.已知每一个歌手得到的名次中，各名次之差不超过3.若每个歌手所得到的名次的和排成递增序列：，则的最大值为____________. 2012年江苏省中学数学奥林匹克夏令营 组合初步 3