2012年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟4.docVIP

2012年全国高中数学联赛预赛模拟4 一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分） 1.如图,正六边形的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数满足: ,则的最小可能值是 . 3.若，,， 则 . 4．若关于的方程仅有一个实数解，则实数的取值范围是 . 5．如图，是边长为的正方形的内接三角形， 已知，，则 . 6．方程的非负整数解 . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列定义如下：.若， 则正整数的最小值为 . 9.抛物线上两点关于直线对称，若，则的值为 10．函数与的定义域和值域都是，且都有反函数，则函数的 反函数是 二、解答题（本大题共5个小题，每小题20分，共100分） 9．三角形中，是的中点，、、分别是边上的点，且△的外接 圆 交 线 段于若点满足： 证明： 9．如图，在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD的夹角，记直线AB与CD的距离为．求的表达式，并写出x的取值范围． 10．给定实数，求函数的最小值． 11．正实数满足，求证： （1）（2），记为集合的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值： （a） （b）（1）的值； （2）． 2012年全国高中数学联赛预赛模拟4 参考答案： 一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分） 1、 2、92 3、11 4、 5、 6、 7、 8、4025 9、3 10、 二、解答题（本大题共5个小题，每小题20分，共100分） 11、证明：在圆中，由于弦故圆周角，因此， 、、、与、、、分别共圆， 于是 …………………5分 设点在边上的射影分别为、、，则 △∽△∽△，故由 得， 设△的内心为 今证四点共圆： 连 因分别共圆，则， 又由，， 所以△∽△ 因此 而所以 因为 故得，因此、、、四点共圆， 于是 ……………10分 延长AM交的外接圆于则AO为该外接圆的直径, 于是 且因此, 点O是所在圆的圆心, 从而为⊙O的切线. 延长AD交⊙O于T, 则∽,所以 , 又由∽,得 , 因故 ... ② ………………15分 延长到,使，则为平行四边形, ... ③ 由② 得 ... 由 ③、 得 ∽ 所以，, 即BPM=CPD . …………………20分 12．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得 ． ① 在△OBC中，由余弦定理， 所以 ， ② 由①，②得 ． ③ 所以 ， 故 ，所以 ． 由③可得，，故． 因为，结合②，③可得 ， 解得（结合） ． 综上所述，，． 13．解 ． 当时，，此时， 且当时不等式等号成立，故． 当时，，此时“双钩”函数在内是递减，故此时 ． 综上所述， …………………（14分） 14．证 （1）记，由平均不等式． 于是 ， 所以 ， 而，所以，即，从而 ． （2）又因为 ，所以 ， 故 ． 15．解 （1）设集合，且A满足（a），（b）． 由于不满足（b），． 又 都不满足 （b）． 而集合满足（a），（b）． （2）首先证明． ① 事实上，若，满足（a），（b），且A的元素个数为． 令，由于，故． 又，所以，集合，且B满足（a），（b）． 从而 ． 其次证明：． ② 事实上，设满足（a），（b），且A的元素个数为．令 ， 由于 ， 所以，且．而 ， ， 从而B满足（a），（b），于是 ． 由①，②得 ． ③ 反复利用②，③可得 ． 1