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通信系统的仿真方法 1.动态系统模型的状态方程求解法（解析法） 2.蒙特卡罗法 3.混合法 动态系统模型的状态方程求解法 动态系统，也就是有记忆的系统的数学描述是状态方程。所谓系统建模，就是根据对象的物理模型找出相应的状态方程的过程。而所谓对动态系统的仿真，就是利用计算机来对所得的状态方程进行数值求解的过程。在通信系统中，通常人们关心的信号是以时间为自变量的函数，所以相应的状态方程中的状态变量、输入变量、输出变量也都是时间的函数。 对于确定的系统，当给定系统的初始状态和输入信号，其输出信号也是确定的。在连续时间系统中，状态方程是一组微分方程。 在计算机数值求解中，只能以一个微小的时间间隔来近似表示当前时刻与下一时刻之间的无穷小时间差，所以数值求解（实质上就是微分方程的数值求解）总是近似的，这个微小的时间间隔就是求解的步长。在给定求解精度要求下，需要根据动态系统的性质以及输入信号的特征来选择求解的步长和求解算法。通常，求解步长过小将增加计算量，使仿真速度下降，而求解步长太大会严重影响仿真结果的精度，甚至导致求解的递推过程不收敛而使求解失败。 微分方程的求解算法可以划分为两大类：变步长算法和固定步长算法。在变步长算法中，求解步长是自适应变化的，以兼顾求解精度和求解速度。而固定步长的算法中的步长需要在仿真之前根据系统特征和信号特征及精度要求进行设置。 对于离散时间系统，状态方程是一组差分方程形式给出。求解就是要得出在各离散时刻上的系统状态值和输出信号值。 例1： 对乒乓球的弹跳过程进行仿真。忽略空气对球的影响，乒乓球垂直下落，落点为光滑的水平面，乒乓球接触落点立即反弹。 建模 初始条件假设：初始时刻，球体的初始速度为，初始位移为，K为撞击衰减系数。 受力分析： 在空中时，小球受重力作用，其中，， 则在时刻小球速度为： 时刻小球位移为： 在小球撞击的瞬间，即的时刻，速度方向改变，大小按比例系数K衰减。 小球反弹瞬间速度： 位移为： 程序： clear all; g=9.8; %重力加速度 v0=0; y0=1.2; m=1.8; t0=0; K=0.85; n=5000; dt=0.001; %仿真步长 v=v0; y=y0; for k=1:n if(y0|(v0)) v=v-g*dt; y=y+v*dt; else y=y-K.*v*dt; v=-K.*v-g*dt; end s(k)=y; end t=t0:dt:dt*(n-1); plot(t,s,r:); xlabel(时间/s); ylabel(位移y(t)/m); axis([0 5 0 1.2]); (1)当dt=0.001时，仿真结果 (2)当dt=0.1时，仿真结果 蒙特卡罗法 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机模拟方法或统计模拟方法。20世纪40年代中期，在美国为第二次世界大战而研制原子弹的“曼哈顿计划”中，人们提出了以概率论统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法，并用驰名世界的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗——来命名这种方法。现代蒙特卡罗方法正是以概率论为基础的方法。 Monte Carlo方法的数学基础是概率论中的大数定理和中心极限定理。大数定理指出，随着独立随机试验次数增加，试验统计时间出现的频率将接近于该事件的概率。Monte Carlo方法的基本思想是，当所求解的问题是某种随机事件出现的概率，或者某个随机变量的期望时，通过某种“试验”的方法，以这种事件出现的频率来估计该随机事件的概率，或者得出这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 如果所求问题不是一个随机事件问题，那么可以通过数学分析方法找出与之等价的随机事件模型，然后再利用Monte Carlo方法求解。 例2： 的估计。 估计方法是用一个具有单位面积的正方形包围一个馅饼状的区域，即单位圆的第一象限。如图所示，总的采样点数为。馅饼状区域的面积为： 由此可得， 假设采样点是均匀分布的，则和之比构成了的无偏估计，所以 所以估计的， 所以对值的估计，只要在包围方框中撒上均匀分布的采样点，再对落在内切圆内中的采样点计数，然后利用上式即可完成。 5次试验，每次试验从1到500个点扔在框里。 蒙特卡罗估计必须瞒住几个重要的性质在实际中才有用。 估计是无偏的 如果参数是的估计值，那么 换句话说，就是在平均意义下可以得到正确的结果。 一致的 估计的方差随着仿真运行的时间（相应随机试验重复的次数）的增加而减少，满足这一性质的估计称为一致估计。当时，。 对于无偏和一致估计，误差 具有零均值，而其方差在收敛到零。 混