特别定义下的矩阵均值不等式 学士论文.docVIP

特别定义下的矩阵均值不等式 摘要：正实数域上的均值不等式是广为人知的。那么，能否将之推广到矩阵？如果对矩阵的一些运算加以特别的定义，即得到矩阵均值不等式。 关键词：均值不等式 矩阵 Mean Value Inequality about Matrix Under Special Definitions Chen Feng ( College of Mathmatics and information technology ,Nanjing Xiaozhuang University ) Abstract: Mean value inequality in positive real number field is well known . Then , can we promote it to matrix? If we give some special definitions on matrix operations, we will get the matrix of mean value Inequality. Keywords: mean value inequality; matrix 设， 则， 当且仅当时，等号成立。 下面证明该不等式： 设 , , , 分三步来证明 第一步，证明 利用概率论的方法来证明： ，， 则 即 第二步，证明 利用泰勒公式来证明： 设 ，则 ，将在点处展开，有 ， 取，，，则有 ， 故 即 所以有， 即 所以 第三步，证明 利用第二步的结果证明： 在第二步所以中，将所有换成，有 所以 即 至此，上述均值不等式证完。 以上的均值不等式为正实数范围内的，如果将上述不等式加以推广，则可以得到以下的矩阵形式。但此类矩阵有特殊的限制。为此，从庞大的矩阵领域中取出一部分，满足如下的规定： 定义1：设A是n阶矩阵，若A的每个元素均大于等于0，则称A0。当且仅当A的元素均为0时，A=0；当且仅当A的元素均大于0时，A0。 定义2：设A、B为n阶矩阵，A、B 0，若A的每一个元素都不小于B的对应的元素，则称AB。 定义3：设A、B、C为n阶矩阵，A、B、C0，如果C的每个元素为对应位置A、B的元素的乘积，则称C称为矩阵A、B的乘积，记作C=AB。 定义4：设A是n阶矩阵，A0,若将A的每个元素均作倒数，得到的新的矩阵称为A的倒矩阵，记作. 定义5：设A是n阶矩阵，A0，若将A的每个元素都n次方，得到的新的矩阵称为A的n次幂，记作。 定义6：设A是n阶矩阵，A0，若将A的每个元素都开n次方，得到的新的矩阵称为A的开n次方，记作。 有了上述6个定义，可以得到矩阵均值不等式，如下： 命题：设，i=1,2…n,则 ，当且仅当时，等号成立。 该命题的证明主要用到实数均值不等式的证明思想。 证明： 记调和平均式T=， 几何平均式G=， 算术平均式S=， 均方平均式J=。 以下分3步证明此不等式： 一、证明SJ 分析：由定义2可知，欲证SJ，即证S的每个元素均小于等于J的对应的元素。 S的元素,. 根据定义5， 根据定义6， J的元素, 根据实数均值不等式，有，则S和J对应的元素和，有 ，。 由此可知，SJ 二、证明GS 分析：由定义2可知，欲证GS，即证G的每个元素均小于等于S的对应的元素。 根据定义3和定义6， G的元素， 根据实数均值不等式，有，则G和S对应的元素和，有 ， 由此可知，GS 三、证明TG 分析：由定义2可知，欲证TG，即证T的每个元素均小于等于G的对应的元素。 根据定义4， T的元素， 根据实数均值不等式，有，则T和G对应的元素和，有 ， 由此可知，TG 至此，上述命题证完。 参考文献：1、陈侃 算术、几何平均值不等式的证明 巢湖学院数学系，安徽 巢湖 2、姚仲明 蒋秀梅 平均值与平均值不等式安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 安徽大学 数学与计算科学学院 ，安徽 合肥