中考中的图形折叠问题.docVIP

中考中的图形折叠问题 解决图形折叠问题的关键是掌握折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，即这两个图形是全等形，有对应角，对应边及直角三角形的出现，给解题提供了条件，这类问题以图形折叠为载体，具有联系实际，内容丰富，解题灵活的特点，可全面考查学生的基础知识和应变能力，在各地中考中常有出现，兹举例如下． 一、求角度 例1 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE翻折，当点A落在四边形BCED内部变为A′时，则∠A′与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这规律．（2005年湖南省益阳市中考题） 解 由折叠知，∠A′=∠A，∵∠ADA′=180°-∠1，∠AEA′=180°-∠2，∴在四边形ADA′E中，2∠A′=360°-（∠ADA′+∠AEA′）=∠1+∠2，∴∠A′=（∠1+∠2），即始终保持不变的数量关系是∠A′=（∠1+∠2）． 二、求线段 例2 将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G． （1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5； （2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．（2004年江苏省无锡市中考题） 解 （1）由折叠知，EM=EA，设CD=2a， ∴DE=2a-EM，DM=a， 在Rt△EDM中，EM2=DE2+DM2， ∴EA2=（2a-EA）2+a2，解得EA=a． ∴ED=a． ∴DE：DM：EM=a：a：a=3：4：5． （2）△CMG的周长与点M在CD边上的位置无关．由折叠知，EM=EA，∠EMG=∠A=90°，设DM=x，DE=y． ∴EM=EA=2a-y． 在Rt△EDM中，x2+y2=（2a-y）2． ∴y=，又易证得△EDM∽△MCG． ∴． ∴， ∴=． ∴△CMG的周长==4a（定值）． 即△CMG的周长为定值4a，与点M在DC上的位置无关． 三、求面积 例3 在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°． （1）求BE、QF的长； （2）求四边形PEFH的面积．（2005年吉林省中考题） 解 （1）由折叠知，∠Q=∠D=90°，EP=EC，PQ=CD=3，在Rt△PBE中，∠BPE=30°， ∴PE=2BE，又EC=6-BE， ∴2BE=6-BE，∴BE=2；EC=BC-BE=4．易证得△HQF∽△HAP，∠QHF=∠AHP=∠BPE=30°． ∴HF=3QF，∴． ∴． ∴QF=1，∴BE=2，QF=1． （2）由折叠知FD=FQ=1，四边形PEFQ≌四边形CEFD， ∵SPEFH=SPEFQ-S△HQF =S梯形CEFD-S△HQF=（FD+EC）·CD-HQ·QF =（1+4）·3-×1=7． 四、求点的坐标，直线解析式 例4 已知，把矩形AOBC放入平面直角坐标系xoy中，使OB，OA分别落在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，2），连结AB，∠OAB=60°，将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面的D处，AD交x轴于E，求： （1）D点坐标； （2）经过点A、D的直线解析式．（2004年北京丰台） 解 分两种情况讨论．①当矩形ADBC在第一象限内，D点落在第四象限． （1）由折叠知，∠CAB=∠DAB，又∠OAB=60°，∴∠CAB=∠BAD=∠DAO=30°，BD=BC=OA=2，∠ADB=∠C=90°．∴AD=BD=6，作DF⊥y轴于点F，∴FD=AD=3，AF=FD=3，∴OF=AF-OA=，则D点坐标为（3，-）． （2）设过A，D两点的直线解析式为y=kx+b． ∴ 解得 ∴y=-x+2． ②当矩形AOBC落在第二象限时，D点落在第三象限，仿①可求得D点坐标为（-3，-），这时过A、D两点的直线解析式为y=x+2． 五、求几何图形形状 例5 已知， ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都在0点处，且四边形DEBF为菱形（如图） （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）求