具有压电元件的FGM弹性薄板的弯曲平衡微分方程.ppt

图4.2 临界电压与FGM板厚长比的变化情况 图4.3 临界电压与FGM梯度指数的变化情况 * * * * * * 具有压电元件的功能梯度 弹性薄板的屈曲与弯曲控制 答 辩 人：丁 丽 霞 专 业：流体力学 指导教师：刘 玮 副教授 Buckling and Bending Control of Functionally Gradient Thin Elastic Plate Boned Piezoelectric Patches 1. 工程背景及选题意义 功能梯度材料是最近几年发展起来的一种新型复合材料，已在许多领域得到重要应用. 而具有压电元件的功能梯度结构正在成为现代智能结构和系统的设计中重要的组成部分,由于机电耦合效应的影响,增加了建模和求解的困难,其力学行为的研究也正在引起人们的关注。所以对具有压电元件的智能结构的弯曲、屈曲、振动等力学行为研究很有意义。 一 前 言 2. 研究现状 中间主结构为 各向同性材料： 文[7]得到结构的动态特性,文[8]研究薄板稳定性,文[9]研究薄板弯曲变形,文[10]控制层合板静变形,文[11]研究层合梁振动等 中间主结构为梯度材料： 文[12]研究三维瞬时热释电弹性问题,得到三维解。文[13]研究了梯度板的变形和振动控制，文[14]在频率域用有限元方法研究了嵌有功能梯度壳的反馈控制，文[15]研究梯度板的后屈曲行为. 对含压电片的结构已做过不少工作，对具有压电材料的智能结构的弯曲、屈曲、振动等力学行为的研究也有一些成果: 针对工程实际中常见的薄板结构(厚度远小于中面尺寸),讨论具有压电元件的功能梯度薄板的屈曲与弯曲控制. 理论基础: 基本假设: 基本方法: 结果: 经典薄板理论及压电理论 梯度材料的弹性参数为板厚度方向的幂函数 双三角级数展开及叠加原理 推导了屈曲及弯曲平衡微分方程 计算了临界屈曲载荷 计算了机、电荷载共同作用下的弯曲挠度 3. 本文的主要工作 二 问题描述 2.1 考虑一功能梯度弹性薄板,其上下表面分别牢固地粘贴着一层均匀压电层作为执行元件。FGM板在面内荷载作用下，可引起屈曲变形；在横向荷载作用下，可引起弯曲变形，这些变形有可能影响到结构的正常使用，因而需对其进行控制。根据逆压电效应将电压转换成作用于板上的等效电载荷。当作用在板上下表面压电片上的电压等值同向时，电场的作用产生相当薄膜力；当作用在板上下表面压电片上的电压等值反向时，电场的作用产生等效弯距。通过调整作用于压电执行器上的电压，可对FGM板的稳定性和弯曲变形量实现有效控制。 结构示意图 电压输入 压电层 主板 压电层 2.2 基本假设 假设功能梯度板的弹性模量沿厚度为幂函数分布,其数学表达为 （2.6） 其中 为材料梯度指数。 板内任意一点处的泊松比为 （2.7） 3.1 压电本构方程: (3.1) 三 基本方程 及其求解 为应力列向量, 为应变列向量， 为弹性系数矩阵, 为压电应变系数矩阵， 为电场强度列向量， 、 其中 3.2 几何方程 (3.2) 3.3 平衡微分方程 3.3.1 具有压电元件的FGM弹性薄板的屈曲平衡微分方程 建立如图3.1的坐标系 图3.1 具有压电元件的FGM弹性薄板的屈曲示意图 仅施加极化方向电场 的作用，当作用在板上下 等值同向，则 板单位长度的内力矩可以由弹性板的应力沿厚度方向积分 得到，即 表面压电片上的电压 (3.4) (3.5) 结合上述方程，我们可得到弯矩的表达式 其中 将弯距表达式(3.5)式代入由横向荷载与中面力共同作用下 薄板的小挠度屈曲平衡微分方程 ，可得用挠度表示的弹性 小挠度功能梯度板的屈曲平衡微分方程 (3.7) 考虑 电场引起的相当薄膜力为 的情况，由方程(3.1)沿厚度积分得到由 (3.8) 假定矩形板的两对边分别作用着均匀分布的压力 ，且 当薄膜力，则板内总薄膜力为 ，考虑由电场引起的相 (3.10) 依据薄板小挠度屈曲理论，屈曲中薄膜力保持不变， 可得到 (3.11) 3.3.2 具有压电元件的FGM弹性薄板的弯曲平衡微分方程 建立如图3.2的坐标系，仅施加极化方向电场 ，作用在板上下表面压电片上的电压V等值反向，则 。电场的作用相当于施加等效弯矩。 图3.2 具有压电元件FGM弹性薄板的弯曲示意图 (3.16) 类似于屈曲方程的推导过程，可得到 将(3.16)式代入经典小挠度弯曲平衡方程可得带有压电 元件的弹性小挠度功能梯度板的小挠度弯曲平衡微分方程 （3.18） 其中 称为由电场引起的当