对于三次均匀B样条曲线.ppt

曲线设计基础 用型值点处的一阶导数表示插值三次样条函数―m关系式 三次样条函数的m连续性方程 三次样条函数的计算步骤 7.6 用OpenGL生成曲线和曲面 用OpenGL生成NURBS曲面 B样条曲线是Schocenberg 于1946年提出的，1972年deBoor和Cox分别给出B样条的标准算法。作为CAGD的一种形状描述的数学方法是Gordon和Riesenfeld于1974年在研究Bézier曲线的基础上给出的[4]。 B样条曲线方程为： 其中di，i＝0，1，….，n为控制顶点 K次规范B样条基函数Ni,K(u)（i＝0，1，…，n）定义如下： ?i（i=0，1，…，n）是对应于给定数据点的节点参数。 7.4 B样条曲线和曲面 当K＝3，且采用均匀参数化时，得到三次均匀B样条曲线： 0≤t＝ ≤1，i＝0,1,…,n-3 在分段连接点处B样条曲线的值和导矢量为： 均匀B样条曲线 对于三次均匀B样条曲线，计算对应于参数[ui, ui+1]这段曲线上的一点，要用到Ni-3, 3(u)、Ni-2, 3(u)、Ni-1, 3(u)、Ni, 3(u)四个基函数，涉及ui-3到ui+4共8个节点的参数值。 B样条曲线的基函数是局部支撑的，修改一个数据点，在修改处影响最大，对其两侧的影响快速衰减，其影响范围只有前后各K段曲线，对曲线的其它部分没有影响。这是计算机辅助几何设计所需要的局部修改性。均匀B样条曲线未考虑曲线数据点的分布对参数化的影响，当曲线弦长差异较大时，弦长较长的曲线段比较平坦，而弦长较短的曲线段则臌涨，甚至于因过“冲”而产生“纽结”。 均匀B样条曲面 给定16个顶点dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)构成的特征网格，可以定义一张曲面片。 用di1、di2、di3、di4(i=1,2,3,4 )构建四条V向曲线C1、C2、C3和C4(图中虚线); d24 u v d42 d43 d44 d11 d12 d13 d14 d21 d23 d31 d32 d33 d34 C4 C3 C1 C2 d41 d22 参数v在[0,1] 之间取值vk ，对应于vk曲线C1、C2、C3和C4上可得到V1k、V2k、V3k和V4k四个点，该四点构成u向的一个特征多边形，定义一条新的曲线P(u,vk)； u v C4 C3 C1 C2 V1k V3k V4k V2k 当参数vk在[0,1] 之间取不同值时，P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4)定义的双三次均匀B样条曲面片P(u,v)。 d24 u v V1k d42 d43 d44 d11 d12 d13 d14 d21 d23 d31 d32 d33 d34 C4 C3 C1 C2 V2k V3k V4k d41 P(u,vK) d22 双三次均匀B样条曲面P(u,v)的矩阵表示 考虑曲线弦长的影响，则曲线的基函数不再具有同样的格式，必须根据给定数据点进行弦长参数化，然后根据基函数的定义用如下的曲线方程计算各段曲线上的点： 非均匀B样条曲线考虑了弦长的影响，曲线不会因为节点分布不均匀而产生过冲和纽结。非均匀B样条曲线比均匀B样条曲线具有更好的光顺性。 7.5 非均匀有理B样条曲线曲面 非均匀B样条曲线曲面 非均匀B样条 均匀B样条 根据曲线方程，计算曲线上的点需要对应参数区间上的基函数的值和控制多边形的顶点。基函数的值根据给定数据点的参数化进行计算。 控制多边形的顶点依据曲线是否通过给定数据点确定，若生成的曲线不通过给定数据点，则给定数据点就是控制多边形顶点。 若生成的曲线通过给定数据点，则首先必须根据给定数据点反求控制多边形的顶点，然后再代入曲线。 非均匀B样条曲线的实现 给定数据点di(i=0,1,…,n-1)就是控制多边形的顶点。 对于开口曲线，n个数据点只画n-3段曲线，需n-2个节点参数。而计算[Ui, Ui+1]上的一点，要用到除它们之外的前3个和后3个节点参数，所以在首尾各添加3个节点参数，一共需要n+4个节点参数值。为使曲线过给定数据的首末点，令U0=U1=U2=0；Un+1=Un+2=Un+3=1；全部节点参数为： 用Hartley－Judd方法，即所画曲线段对应的控制多边形的长度与总控制多边形的长度之比确定节点参数。 U0=U1=U2=0；UK，UK＋1，… ，Un；Un+1=Un+2=Un+3=1； 不过点三次非均匀B样条曲线 对于闭合曲线，n个数据点画n段曲线，需n＋1个节点参数曲线；首尾各添加3个节点参数，共n＋7个节点参数。由于不过点闭合曲线，不通过控制多边形的首末点，全部节点参数为：