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7.因子分析new PPT
1
因子分析
2
§1 引言
因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系,探求观测数据中的基本结构,并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量,而假想变量是不可观测的潜在变量,称为因子。
例如,在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系,评价百货商场的24个方面的优劣。
3
但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量,找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为:
称 是不可观测的潜在因子。24个变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性,不被包含的部分 ,称为特殊因子。
4
注:
因子分析与回归分析不同,因子分析中的因子是一个比较抽象的概念,而回归因子有非常明确的实际意义;
主成分分析分析与因子分析也有不同,主成分分析仅仅是变量变换,而因子分析需要构造因子模型。
主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量,即主成分;
因子分析:潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。
5
§ 2 因子分析模型
一、数学模型
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用矩阵的表达方式
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二、因子分析模型的性质
1、原始变量X的协方差矩阵的分解
D的主对角线上的元素值越小,则公共因子共享的成
分越多。
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2、模型不受计量单位的影响
将原始变量X做变换X*=CX,这里
C=diag(c1,c2,…,cn),ci0。
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3、因子载荷不是惟一的
设T为一个p×p的正交矩阵,令A*=AT,F*=T’F,则模型可以表示为
且满足条件因子模型的条件
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三、 因子载荷矩阵中的几个统计特征
1、因子载荷aij的统计意义
,再求数学期望
根据公共因子的模型性质,有
(载荷矩阵中第i行,第j列的元素)反映了第i个变量与第j个公共因子的相关重要性。绝对值越大,相关的密切程度越高。
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2、变量共同度的统计意义
定义:变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和。记为
统计意义:
两边求方差
所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为1。如果 非常靠近1, 非常小,则因子分析的效果好,从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。
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3、公共因子 方差贡献的统计意义
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§ 3 因子载荷矩阵的估计方法
设随机向量 的均值为,协方差为,
为的特征根, 为对应的
标准化特征向量,则
(一)主成分分析法
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上式给出的表达式是精确的,然而,它实际上是毫无价值的,因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释,故略去后面的p-m项的贡献,有
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上式有一个假定,模型中的特殊因子是不重要的,因而从的分解中忽略了特殊因子的方差。
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注:残差矩阵
其中S为样本的协方差矩阵。
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(二)主因子法
主因子方法是对主成分方法的修正,假定我们首先对变量进行标准化变换。则
R=AA’+D
R*=AA’=R-D
称R*为约相关矩阵, R*对角线上的元素是 ,
而不是1。
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直接求R*的前p个特征根和对应的正交特征向量。得如下
的矩阵:
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在实际的应用中,个性方差矩阵一般都是未知的,
可以通过一组样本来估计。估计的方法有如下几种:
首先,求 的初始估计值,构造出
1)取 ,在这个情况下主因子解与主成分解等价;
2)取 , 为xi与其他所有的原始变量xj的复相关系数的平方,即xi对其余的p-1个xj的回归方程的判定系数,这是因为xi 与公共因子的关系是通过其余的p-1个xj 的线性组合联系起来的;
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2)取 ,这意味着取xi与其余的xj的简单相关系数的绝对值最大者;
4)取 ,其中要求该值为正数。
5)取 ,其中 是 的对角元素。
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(三)极大似然估计法(略)
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