w第4章 线性方程组解的结构 PPT.ppt

-1- 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 -2- §4.1 线性方程组解的存在性定理 在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。 -3- (4-1) -4- 非齐次方程组解的存在性定理 (4-1) 线性表示。 -5- 的系数行列式 Cramer法则 则方程组有唯一解,且解为: (4-2) -8- 有非零解 (4-4) 学习书P.135 例2 -9- 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 -10- §4.2 齐次线性方程组解的结构 (2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求? (1) 解集的特点? 称： -11- 性质1：若 是(4-3)的解， 性质2： 注： 如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。 如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。 推论1 而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。 首先回答问题(1) -12- 则齐次线性方程组 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 个解向量。 则齐次线性方程组 的任意 个线性无关 的解向量均可构成基础解系。 -13- 线性无关； 的任一解都可以由 线性 表示,则称 下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题， 同时也是定理4.2.1的例证。 从而 也是(4-3)的解。 -14- 齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法） （1）对系数矩阵A 进行初等变换，将其化为最简形 -15- 由于 分别令 -16- 于是得 -17- 下证 是方程组的 基础解系 由上式可以看出， 就是n-r个n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的 也是线性无关的 后n-r个分量， 因而添加了r个分量的向量组 -18- 最后n-r 个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样 ． -19- 于是得通解 所以， 是方程组的 基础解系 -20- 因为秩(A)=24，所以方程组有非零解。 解： 例1．解线性方程组 通解为 -21- 令 得基础解系 通解为 -22- 说明： 通过基础解系求通解和原来方法求出的通解是一样的，过程稍有一点区别而已 -23- 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 -24- 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. -25- 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 -26- 两个不同的解向量, k 取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是 -27- 证 重要结论 -28- 且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。 (2),(3) 则_______可为AX=O的基础解系。 (4) (1) (2) -29- 证 重要结论 -30- 求一个齐次方程组, 使它的基础解系为 记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知 解 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 -32- §4.3 非齐次线性方程组解的结构 以下总假设 有解, 而其对应的齐次方程组 的基础解系为 -33- 由此得: (3) 注：非齐次方程组的解集不是空间。 -34- 解 -35- 得齐次方程组的基础解系 于是所有通解 即得方程组的一个解 -36- ※ ※ -37- 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 求该方程组的通解. 解 基础解系所含向量个数 = 4 – 3 = 1 故非齐次方程组的通解为 -38- 自学书P.144-145 例2、3、5。 第四章 线性方程组的解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.1 线性方程组解的存在性定理 -40- §4.4 线性方程组在几何中的应用