函数的数值逼近PPT.ppt

第四章 函数的数值逼近;§4.0 插值与拟合 1、问题的提出 ◆ 函数没有明确的表达式 ◆ 函数有明确的表达式，但不是（分段）有理函数 2、插值与拟合 ◆ 插值问题：作一条曲线，其类型是事先人为给定的（比如：代数多项式），使该曲线经过所有已知点。 ◆ 拟合问题：作一条指定类型的曲线，使该曲线能在“一定意义”下逼近已知点。;图4.1 心形图;§4.1 插值的基本理论 1、插值问题的提法 ◆ 基本提法：对于给定函数表; 通常，称区间[a, b] 为插值区间，称点xi ( i=0, 1, …,n ) 为插值结点，称(4.1) 为插值条件， φ(x)为函数f(x) 在结点xi ( i=0, 1, …,n ) 上的插值函数，f(x) 为被插值函数。 函数类{φ(x)}的取法有很多种，常用的有代数多项式，三角函数和有理函数。本章只讨论代数多项式，相应的插值问题称为多项式插值。;;4、插值余项 记 Rn(x) = f(x) – Pn(x) , 则Rn(x) 是用代数多项式Pn(x) 近似代替函数f(x) 的截断误差，通常称Rn(x) 为n 次插值多项式Pn(x) 的余项。;证：由插值条件(4.3) 可知， Rn(xi) =0 (i=0, 1, …, n) 故可设 Rn(x)=k(x)ωn+1(x) (4.6) 其中k(x)为待定函数。 对于[a, b] 上异于xi 的任一点x ，作辅助函数 F(t) = f(t) – Pn(t) – k(x)ωn+1(t) 则 F(t) 在[a, b] 上具有n+1 阶导数 F (n+1) (t) = f (n+1) (t) – k(x)(n+1)! (4.7) 且F(x) = F(x0) = F(x1) = … = F(xn) = 0 即F(t) 在[a, b] 上至少有n+2 个互异的零点x, x0, x1,…,xn.由洛尔定理知，F(t) 在两个零点间 F’(t) 至少有一个零点，故F’(t) 在(a, b) 上至少有n+1个互异零点。对F’(t) 再应用洛尔定理，依次类推，可知F (n+1) (t) 在(a, b) 内至少有一个零;注意：利用解方程组(4.4)去建立形如(4.2) 的插值多项式，计算量大，有时还会对精度有较大的影响，因而是不可取的。;§4.2 Lagrange 插值多项式 ① 基函数 考虑最简单的插值问题。设离散数据点为{(xk, δik)}nk=0，这里i 是一个非负整数，0≤i≤n， ;且条件;一般离散数据 的插值多项式 是基函数 的线性组合：;于是，;;;例;且;Lagrange插值多项式的缺点：;2、 Newton 插值 为了克服Lagrange插值的缺点，我们把多项式构造成如下形式： 这种形式的插值多项式称为n 次Newton 插值多项式，记为Nn(x), 即 其中系数ai(i=0,1,…,n) 可由插值条件 Nn(xi)=yi (i=0,1,…,n) 确定。 引入差商（均差）的概念。;定义1. 称 为函数f(x) 关于点xi, xj 的一阶差商； 称 (i, j, k 互异) 为f(x) 在点xi, xj, xk 处的二阶差商； 一般地，称 为f(x) 在点xi0, xi1, …, xim 处的m 阶差商； 特别地，规定零阶差商f [ xi ] = f(xi) .; 可以用归纳法证明。从(4.12) 可以看出，均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性，即; 为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差商，如表(4.2).; 用差商表示Newton 插值多项式的系数。 事实上，由插值条件Nn(x0)= f(x0)可得 a0=f(x0). 再由插值条件Nn(x1)= f(x1), 即 a0+a1(x1-x0) =f(x1); 一般地，可由归纳法证明;解：首先根据给定的函数表构造差商表，这时，Newton插值多项式（4.14）的系数依次为;故用线性插值得 f(0.596)≈N1（0.596）= 0.41075＋ 1.11600×(0.596-0.40) =0.629486 用抛物插值得 f(0.596)≈N2（0.596） ＝ N1(0.5