北京科技大学线性代数ch31 PPT.ppt

1 第三章 向量空间 2 第三章 向量空间 3.1 向量空间的概念 3.2 向量的线性关系 3.3 向量组的秩 3.5 矩阵的秩 3.4 线性空间的基 维数 坐标 3 3.1 向量空间的概念 第三章 向量空间 几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间 4 在几何空间中,既有大小又有方向的量称为向量. 三维向量的坐标表示为： 向量的加法与数乘运算： 向量的平行： 若两个非零向量的方向相同或相反, 则称 这两个向量平行. 由于零向量的方向可以看作是任意的,所以零向量与任意向量都平行. 1.几何空间 向量： 向量的表示： 向量的运算： 建立了空间直角坐标系的三维空间 复习 (称为线性运算) 为常数 ) 两个向量 平行 5 证明略 定理3.1　 存在不全为零的实数 使得 不妨设 线性组合 8 定义3.1 分量全为实数的向量称为实向量， 几何空间中的三维向量 是由三个实数 构成的有序数组，现将它推广到 n 维情况： 如不特别声明, 我们所讨论的向量均为实向量. n个数组成的有序数组 称为n维向量. 这n个数称为该向量的n个分量, ai称为第i个分量. 至少有一个分量为复数的向量称为复向量. 2.n维向量 例如: n维实向量 n维复向量 n维向量的本质: 它有n个独立变化的分量. 9 n维向量写成一行,称为行向量,也就是行矩阵，　　　　　 n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列矩阵,　 等表示，如： 通常用 通常用　 等表示，如： n 维向量的表示方法： 10 若两个n维向量 对应分量相等, 即 则称这两个向量相等. 向量相等： 11 3.1向量空间的概念 第三章 向量空间 几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间 12 已知 加法 数乘 注意: 向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算. 3.向量的运算 n维零向量 的负向量 13 向量加法与数乘的性质: 若 则 14 3.1向量空间的概念 第三章 向量空间 几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间 15 向量组的定义： 称为向量组. 由m个n维向量 构成的集合 记作 4.向量组与矩阵 注释： 向量组必须由同维数的向量构成. 向量组有两个数字：m 和 n m 是向量组所含向量个数； n 是向量组的维数，即每个向量中独立变化分量的个数. 16 向量组的定义： 向量组与矩阵的关系： 称为向量组. 向量组 a1, a2, …, an 称为矩阵A的列向量组. 由m个n维向量 构成的集合 记作 矩阵 4.向量组与矩阵 17 向量组 类似地, 矩阵 有m个n维行向量. 称为矩阵A的行向量组. 矩阵可由列向量组构成. 由此可知： 矩阵也可由行向量组构成. 18 反之，由有限个同维数的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. m个n维列向量所组成的向量组 构成一个 矩阵. m个n维行向量所组成的向量组 构成一个 矩阵. 19 3.1向量空间的概念 第三章 向量空间 几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间 20 注释: 定义3.6　 (1) 集合V 对于加法及数乘两种运算封闭是指 如果集合V 非空， 设V 为n维向量的集合， 且集合V 对于向量加法及数乘两种运算封闭， 则称集合V 为实数域上的向量空间． 集合V 非空 对加法封闭 对数乘封闭 (2) 向量空间 5.向量空间 21 解 是一个向量空间. (1) 三维向量的全体构成的集合 例1 非空; 设 是一个向量空间. 22 是一个向量空间. 实数域上的全体n维向量构成的集合 同理, 可以验证: 也是一个向量空间, 称为实数域上的n维向量空间. 三维向量的全体构成的集合 例1 23 则称V1是V2 的子空间． 定义3.7 设向量空间V1 及V2 ，若　　　 例如： 坐标轴：x轴, y轴, z轴 都是向量空间，都是 的子空间. 坐标面： 都是向量空间，都是 的子空间. 24 则称V1是V2 的子空间． 定义3.7 设有向量空间V1 及V2 ，　　　 若 例2 判别下面集合是否为向量空间. 其中 解 (1) 由 非空; (2)设 故V1是向量空间, 的子空间. 且是 25 判别下面集合是否为向量空间. 解： 例3 故V2不是向量空间. 因为 26 例4 判别下面集合是否为向量空间. 解 齐次线性方程组解向量 的集合构成了向量空间. 非齐次线性方程组的解向 量的集合不构成向量空间. 称为方程组Ax = 0的解空间. V非空; 故V是向量空间, 故S不是向量空间. 27 试判断V是否为向量空间. 解 显然V非空， 对任意 于是 故V是向量空间. 例5 2