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卡方检验 概述：卡方检验是以卡方分布为基础的一种常用假设检验方法，主要用于分类变量 两个或多个样本率的比较 两组构成比资料的比较 分类资料的相关分析 1.卡方分布 定义：设随机变量X1,X2,...,Xn相互独立，且Xi（i=1，2，...,n）服从标准正态分布N(0,1),则它们的平方和服从自由度为n的 ?2 分布。 特征： （1）χ2分布的图形形状取决于自由度的大小，当n≤2时，曲线呈L型，随着n的增加，曲线逐渐趋于对称;当n→∞时，?2 分布趋于正态分布。（如图1） n=1 n=4 n=6 n=9 图1. 不同自由度下卡方分布曲线 （2）分布的可加性： 如果两个独立的随机变量X1和X2分别服从自由度n1 和n2 的 ?2 分布那么它们的和（X1+X2)服从自由度为n1+n2的 ?2 分布。 （3） ?2 分布的数学期望和方差 E(?2 ) =n D(?2 )= 2n 解：在水平a=0.02下检验假设 H0: =5000 H1; 5000，现在 n = 26 拒绝域为 由观察值： 所以拒绝H0,认为这批电池寿命的波动性较以往的有显著的变化 χ2 值的意义： 卡方值反映了实际频数与理论频数的吻合程度。 如果Ho成立，则实际频数和理论频数之差一般不会很大 如果Ho不成立，则实际频数和理论频数之差就很大 当n不够大，且T5时，需对χ2值进行校正； ?2检验的用途广泛，常用的有以下几种： （1）拟合优度检验 （2）独立性检验 （3）四格表资料卡方检验 （4）R×C列联表的χ2检验 （5）配对设计资料的χ2检验 一.拟合优度检验 定义： 拟合优度检验是根据样本的频率分布检验其总体分布是否等于某个给定的理论分布。 χ2值的计算公式： f0 表示观察值频数 fe 表示期望值频数 例1：某集团公司进行一项改革，从所属的分公司中随机抽取了420名员工，了解他们对改革的态度（如下表），以a=0.1的显著水平检验四个分公司对改革方案的看法是否存在差异。 解：如果不存在差异，四个分公司赞成改革方案的比例应该一致，于是原假设和备择假设分别为; Ho：π1= π2 =π3= π4 =0.664 H1: π1 ,π2 ,π3 ,π4 不全相等 自由度=（R-1）(C-1)=(2-1)(4-1)=3 a=0.1 所以 由于?2 ?2a,故不拒绝原假设，即认为四个分公司对改革方案的赞成比例是一致的。 二.独立性检验 判断2组或多组的分类资料是否相关联，如果不互相关联，就称独立，这类问题的处理称为独立性检验 例题、一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分为三个不同的等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表： 要求检验各地区和原料质量之间是否存在依赖关系 解： H0:地区与原材料之间不存在依赖关系 H1：地区与原材料之间存在依赖关系 自由度=（R-1）(C-1)=4 取a=0.05，则 由于 故拒绝H0,即地区和原料等级之间存在依赖关系，原料的质量受地区的影响 三、四格表资料卡方检验 四格表资料卡方检验的专用公式： 用基本公式计算卡方值时，需先求出各理论频数，运算时很不方便。经过简单的数学推导，可得四格表中计算卡方值得专用公式： 四格表资料卡方检验校正公式： ⑴ 当n≥40，T＞5时，可用四格表卡方检验基本公式或专用公式； ⑵ 当n≥40，5＞T＞1时，需对卡方值进行校正； ⑶ 当n＜40或T＜1时，不能用卡方检验，改用四格表确切概率计算法。 例1. 用某种药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素B12两种处理方法,观察大白鼠鼻咽癌发病率的比较如表所示 H0：药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素 B12 两种处理方法疗效水平相等 H1： 药物鼻注组与某种药物鼻注加肌注维生素 B12 两种处理方法疗效 水平不相等 2. 计算 ?2 值 3. 计算 自由度，查界值 自由度n=1, ?20.05(1)=3.84 4. 结论 因为 ?2 = 5.55 ?20.05(1), 故 拒绝原假设 某种药物鼻注加肌注维生素B12的未发癌鼠率为：18/71=25.4% ， 某种药物鼻注组的未发癌鼠率为：3/41=7.3% ， 可以认为增加肌注维生素B12可减少鼻咽癌的发生率