差分方程滞后运算与动态模型PPT.ppt

2.3 高阶差分方程 一阶差分方程可以拓展到二阶以及更高阶的差分方程，为方便起见，把高于一阶的差分方程统一称为高阶差分方程。假设差分方程的阶数为p，则p阶差分方程的一般表达式可以写成： 要从高阶向一阶转化，首先定义几个常用矩阵： 例如p＝5时， 现在，p阶差分方程就可以转化为： 即， 通过反复迭代，可以得到： 对模型进行向前迭代，可以得到： 其中： 表示矩阵F的j次幂。这样，对比F矩阵与Y矩阵的定义，可以获得p阶差分方程的动态乘数，即： ? 对比F矩阵与Y矩阵的定义，可以获得p阶差分方程的动态乘数，即： 其中： 为矩阵 的第1行第1列位置上的元素。一旦动态乘数的解析表达式求解出来了，对应的p阶差分方程的脉冲响应方程就可以很容易获得了。 金融计量学 张成思 * 第二章 差分方程、滞后运算与 动态模型 2.1 一阶差分方程 2.2 动态乘数与脉冲响应函数 2.3 高阶差分方程 2.4 滞后算子与滞后运算法 2.1 一阶差分方程 2.1.1 差分方程的定义 (2.1) 一个差分方程就是指将一个变量的当期值定义为它的前一期和一个当期的随机扰动因素的函数。模型（2.1）等式的右侧只有因变量的一次滞后期出现，这样的差分方程称为一阶差分方程。 * 图2.1 美国CPI环比通胀率 1948年1季度-2010年3季度 原始数据来源：Fred Data, Federal Reserve Bank of St. Louis，经作者计算。 * 一些差分运算常用的表达式: 可以观察到， （1）如果 ,那么 的取值随着m的不断增大而减小，最终减为0，此时 称为收敛序列。 （2）如果 ，那么 的取值随着m的不断增大将不会逐渐减小为0，而是趋近于无穷大。此时 称为非收敛序列。 （3）如果 ，差分方程描绘的变量序列仍然是非收敛序列，但这种特殊情况下的差分方程对应一个专门的名称，叫做随机游走过程。 图2.2（a） 经过以上分析，可以得出结论：一阶差分方程中的一阶滞后项的系数的大小关键性地决定了差分方程的求解结果。实际上，这个系数的取值也关键性地决定了时间序列变量的动态走势特征。 后面的图即描绘了一阶差分方程中不同 系数的所对应的 序列的动态路径。 * 图2.2（b） * 图2.2（c） * 图2.2（d） * 图2.2（e） * 图2.2（f） 2.2 动态乘数与脉冲响应函数 2.2.1 动态乘数（dynamic multiplier） 2.2.2 脉冲响应函数（impulse response function, IRF） 2.2.1 动态乘数 2.2.2 脉冲响应函数 从动态乘数的定义可知，对应每一个时期跨度j，有一个对应的动态乘数，那么如果将不同时期跨度j的动态乘数按j从小到大的顺序摆放在一起，形成一个路径，就成为了脉冲响应函数。 累积脉冲响应函数： 累积脉冲响应函数用来衡量随机扰动因素出现永久性变化后，即 都 变化一个单位，对 造成的影响和冲击情况。 从模型可知，如果 条件满足，在极限情况下，累积脉冲响应函数就等于 。 无论是脉冲响应函数还是累积脉冲响应函数，其根本特性都由一阶滞后项系数 决定。 图2.3(a) (a) (b) 图2.3(b) (c) 图2.3(c) (d) 图2.3(d) 图2.3(e) (e) (f) 图2.3(f) 图2-3非常清晰地显示出，不同的 取值，对应的脉冲响应函数图表现非常不同。归纳来说： 在 的情况下，如(a)和(b)情