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不含定距元素的组合问题.pdfVIP

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不含定距元素的组合问题

欄柵前面的思考一一 不含定距元素的 合問題 柳柏濂 一. 改造猴子籠 圖一是一個關著白鶴的鐵籠, 籠門的鐵 欄柵有 15條鐵枝。 現在, 我們把這個籠子改關猴子, 猴子比 白鶴大得多, 因此, 門上的鐵條可以減少, 減 少的原則是: 每兩條鐵枝間的間隔最多是原 來的兩倍, 否則, 猴子就會逃之夭夭。 (圖二) 如果我們要在原來的欄柵上, 精簡出 6 圖二 條鐵枝, 那麼, 有多少種刪取鐵枝的方案? 現在的問題是: 有多少種令猴子不會跑 誠然, 如果請你隨便拿出6條鐵枝來 (只 掉的取鐵枝方案, 這不是一個用枚舉方法可 要猴子不會跑掉), 這是一個輕而易舉的問題。 以輕易解決的問題, 特別是原來柵欄鐵枝相 一個最普通的做法是: 從欄柵由左至右相隔 當多的時後。 當然, 若所取的鐵枝太多時, 合 一枝依次取出 6枝便可。 要求的取法可能不存在, 例如, 在上述的欄柵 中, 不能取出 9條鐵枝來。 既然, 我們知道: 取 6條鐵枝的方案不 少, 那麼, 一個 自然應該思考的問題是: 這些 形形色色的方案裡, 有一些什麼樣的共同特 點? 稍作思考, 不難知道, 取出的鐵枝沒有兩 條相鄰, 否則, 鐵籠就有一個至少是原來 3倍 圖一 寬的間隔, 猴子將會出入自如。 於是, 問題歸 29 30 數學傳播 21 卷 1期 民 86 年 3 月 結為: 從排列成一直線的 15條鐵枝中, 任取 6 ′ ′ ′ 個等號), 也就是說, a , a , . . ., a 是相異的 1 2 6 枝, 使它們無兩枝相鄰的取法數。 自然數。 這 6 個 自然數最小可能是 1, 最大可 為方便思考, 我們可以把問題更加數學 能是 a′ = a − 5 ≤ 15 − 5 = 10。 於是, 我 6 6 化, 抽象成下面一個典型的數學問題: 們把問題 1轉化為 ′ 問題 1: 從 1, 2, . . .,

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