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不含定距元素的组合问题
欄柵前面的思考一一
不含定距元素的 合問題
柳柏濂
一. 改造猴子籠
圖一是一個關著白鶴的鐵籠, 籠門的鐵
欄柵有 15條鐵枝。
現在, 我們把這個籠子改關猴子, 猴子比
白鶴大得多, 因此, 門上的鐵條可以減少, 減
少的原則是: 每兩條鐵枝間的間隔最多是原
來的兩倍, 否則, 猴子就會逃之夭夭。 (圖二)
如果我們要在原來的欄柵上, 精簡出 6 圖二
條鐵枝, 那麼, 有多少種刪取鐵枝的方案?
現在的問題是: 有多少種令猴子不會跑
誠然, 如果請你隨便拿出6條鐵枝來 (只
掉的取鐵枝方案, 這不是一個用枚舉方法可
要猴子不會跑掉), 這是一個輕而易舉的問題。
以輕易解決的問題, 特別是原來柵欄鐵枝相
一個最普通的做法是: 從欄柵由左至右相隔
當多的時後。 當然, 若所取的鐵枝太多時, 合
一枝依次取出 6枝便可。
要求的取法可能不存在, 例如, 在上述的欄柵
中, 不能取出 9條鐵枝來。
既然, 我們知道: 取 6條鐵枝的方案不
少, 那麼, 一個 自然應該思考的問題是: 這些
形形色色的方案裡, 有一些什麼樣的共同特
點?
稍作思考, 不難知道, 取出的鐵枝沒有兩
條相鄰, 否則, 鐵籠就有一個至少是原來 3倍
圖一 寬的間隔, 猴子將會出入自如。 於是, 問題歸
29
30 數學傳播 21 卷 1期 民 86 年 3 月
結為: 從排列成一直線的 15條鐵枝中, 任取 6 ′ ′ ′
個等號), 也就是說, a , a , . . ., a 是相異的
1 2 6
枝, 使它們無兩枝相鄰的取法數。 自然數。 這 6 個 自然數最小可能是 1, 最大可
為方便思考, 我們可以把問題更加數學 能是 a′ = a − 5 ≤ 15 − 5 = 10。 於是, 我
6 6
化, 抽象成下面一個典型的數學問題: 們把問題 1轉化為
′
問題 1: 從 1, 2, . . .,
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