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2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海 数学试卷(理工农医类)
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1、设x,则不等式的解集为______________________
2、设,期中为虚数单位,则=______________________
3、已知平行直线,则的距离_______________
4、某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________(米)
5、已知点在函数的图像上,则
6、如图,在正四棱柱中,底面的边长为3,与底面所成角的大小为,则该正四棱柱的高等于____________
7、方程在区间上的解为___________
8、在的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________
9、已知的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________
10、设若关于的方程组无解,则的取值范围是____________
无穷数列由k个不同的数组成,为的前n项和.若对任意,,则k的最大值为.
在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线上一个动点,则的取值范围是.
设,若对任意实数都有,则满足条件的有序实数组的组数为.
如图,在平面直角坐标系中,O为正八边形的中心,.任取不同的两点,点P满足,则点P落在第一象限的概率是.
选择题(5×4=20)
设,则“”是“”的( )
充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
下列极坐标方程中,对应的曲线为右图的是( )
(B)
(C) (D)
已知无穷等比数列的公比为,前n项和为,且.下列条件中,使得恒成立的是( )
(B)
(C) (D)
18、设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、均是以为周期的函数,下列判断正确的是( )
、①和②均为真命题、①和②均为假命题
、①为真命题,②为假命题、①为假命题,②为真命题
三、解答题(74分)
19.将边长为1的正方形(及其内部)绕的旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中与在平面的同侧。
(1)求三棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成的角的大小。
(本题满分14)
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为(1,0),如图
求菜地内的分界线的方程
菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点,请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点。
(1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;
(2)设,若的斜率存在,且,求的斜率.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;
(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.
(1)若具有性质,且,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,判断是否具有性质,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知.求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11. 4
12.
13. 4
14.
15.A
16.D
17.B
18.D
19. (1)由题意可知,圆柱的高,底面半径.
由的长为,可知.
,
.
(2)设过点的母线与下底面交于点,则,
所以或其补角为直线与所成的角.
由长为,可知,
又,所以,
从而为等边三角形,得.
因为平面,所以.
在中,因为,,,所以,
从而直线与所成的角的大小为.
20. (1)因为
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