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常微分方程的习题答案 常微分方程课后答案 习题1.2 第一题:1.2xy,并满足初始条件:x0,y1的特解。 解:2xdx两边积分有:ln|y|x+c ye+ecex另外y0也是原方程的解,c0时,y0 原方程的通解为y cex,x0 y1时 c1 特解为y e. 2. ydx+x+1dy0 并求满足初始条件:x0,y1的特解。 解:ydx-x+1dy dy-dx 两边积分: --ln|x+1|+ln|c|y 另外y0,x-1也是原方程的解 x0,y1时 ce 特解:y 3. 解:原方程为: dydx 两边积分:x1+x1+ycx 4. 1+xydx+1-yxdy0解:原方程为: dy-dx 两边积分:ln|xy|+x-yc 另外 x0,y0也是原方程的解。 5.(y+x)dy+x-ydx0解:原方程为: - 令u 则u+x 代入有: -dudx lnu+1xc-2arctgu 即 lny+xc-2arctg. 6. x-y+0解:原方程为: +- 则令uu+ x dusgnx dx arcsinsgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy0解:原方程为: 两边积分:ln|siny|-ln|cosx|-ln|c| siny 另外y0也是原方程的解,而c0时,y0. 所以原方程的通解为sinycosxc. 8 +0解:原方程为:e 2 e-3ec. 9.xlnx-lnydy-ydx0解:原方程为:ln 令u ,则u+ x u+ xulnu lnlnu-1-ln|cx| 1+lncy. 10. e解:原方程为:ee ece 11 x+y 解:令x+yu,则-1 -1u dudx arctgux+c arctgx+yx+c 12. 解:令x+yu,则-1 -1 u-arctgux+c y-arctgx+yc. 13. 解: 原方程为:(x-2y+1)dy2x-y+1dx xdy+ydx-2y-1dy-2x+1dx0 dxy-dy-y-dx+xc xy-y+y-x-xc 14: 解:原方程为:(x-y-2)dyx-y+5dx xdy+ydx-y+2dy-x+5dx0 dxy-dy+2y-dx+5x0 y+4y+x+10x-2xyc. 15: x+1 +4y+1 +8xy 解:原方程为:(x+4y)+3 令x+4yu 则- -u+3 4 u+13 utg6x+c-1 tg6x+cx+4y+1. 16:证明方程fxy,经变换xyu可化为变量分离方程,并由此求下列方程: y1+xydxxdy 证明: 令xyu,则x+y 则-,有: fu+1 dudx所以原方程可化为变量分离方程。 令xyu 则-1 原方程可化为:[1+(xy)] 2 将1代入2式有:-1+u u+cx 17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解:设(x +y )为所求曲线上任意一点,则切线方程为:yy’x- x + y则与x轴,y轴交点分别为: x x - y y - x y’ 则 x2 x x - 所以 xyc 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中 。 解:由题意得:y’ dy dx ln|y|ln|xc| ycx 则ytgx 所以 c1yx. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明:设x,y为所求曲线上的任意一点,则y’kx 则:ykx +c 即为所求。 常微分方程习题2.1 1.,并求满足初始条件:x0,y1的特解解:对原式进行变量分离得 并求满足初始条件:x0,y1的特解. 解:对原式进行变量分离得: 3解:原式可化为:12. 解 15. 16. 解: ,这是齐次方程,令 17解:原方程化为 令 方程组 则有 令 当当 另外19. 已知fx. 解:设fxy, 则原方程化为 两边求导得 20.求具有性质 xt+s的函数xt,已知x’0存在。 解:令ts0x0 若x00 得x-1矛盾。 所以x00. x’t 两边积分得arctg xtx’0t+c 所以xttg[x’0t+c] 当t0时 x00 故c0 所以 xttg[x’0t]