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常微分方程的习题答案
常微分方程课后答案
习题1.2
第一题:1.2xy,并满足初始条件:x0,y1的特解。
解:2xdx两边积分有:ln|y|x+c
ye+ecex另外y0也是原方程的解,c0时,y0
原方程的通解为y cex,x0 y1时 c1
特解为y e.
2. ydx+x+1dy0 并求满足初始条件:x0,y1的特解。
解:ydx-x+1dy dy-dx
两边积分: --ln|x+1|+ln|c|y
另外y0,x-1也是原方程的解 x0,y1时 ce
特解:y
3. 解:原方程为:
dydx
两边积分:x1+x1+ycx
4. 1+xydx+1-yxdy0解:原方程为: dy-dx
两边积分:ln|xy|+x-yc
另外 x0,y0也是原方程的解。
5.(y+x)dy+x-ydx0解:原方程为:
-
令u 则u+x 代入有:
-dudx
lnu+1xc-2arctgu
即 lny+xc-2arctg.
6. x-y+0解:原方程为: +-
则令uu+ x
dusgnx dx
arcsinsgnx ln|x|+c
7. tgydx-ctgxdy0解:原方程为:
两边积分:ln|siny|-ln|cosx|-ln|c|
siny 另外y0也是原方程的解,而c0时,y0.
所以原方程的通解为sinycosxc.
8 +0解:原方程为:e
2 e-3ec.
9.xlnx-lnydy-ydx0解:原方程为:ln
令u ,则u+ x
u+ xulnu
lnlnu-1-ln|cx|
1+lncy.
10. e解:原方程为:ee
ece
11 x+y 解:令x+yu,则-1
-1u
dudx
arctgux+c
arctgx+yx+c
12.
解:令x+yu,则-1
-1
u-arctgux+c
y-arctgx+yc.
13.
解: 原方程为:(x-2y+1)dy2x-y+1dx
xdy+ydx-2y-1dy-2x+1dx0
dxy-dy-y-dx+xc
xy-y+y-x-xc
14:
解:原方程为:(x-y-2)dyx-y+5dx
xdy+ydx-y+2dy-x+5dx0
dxy-dy+2y-dx+5x0
y+4y+x+10x-2xyc.
15: x+1 +4y+1 +8xy 解:原方程为:(x+4y)+3
令x+4yu 则-
-u+3
4 u+13
utg6x+c-1
tg6x+cx+4y+1.
16:证明方程fxy,经变换xyu可化为变量分离方程,并由此求下列方程:
y1+xydxxdy
证明: 令xyu,则x+y 则-,有: fu+1 dudx所以原方程可化为变量分离方程。
令xyu 则-1
原方程可化为:[1+(xy)] 2
将1代入2式有:-1+u
u+cx
17.求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解:设(x +y )为所求曲线上任意一点,则切线方程为:yy’x- x + y则与x轴,y轴交点分别为: x x - y y - x y’ 则 x2 x x - 所以 xyc
18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程,其中 。
解:由题意得:y’ dy dx ln|y|ln|xc| ycx 则ytgx 所以 c1yx.
19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明:设x,y为所求曲线上的任意一点,则y’kx 则:ykx +c 即为所求。
常微分方程习题2.1
1.,并求满足初始条件:x0,y1的特解解:对原式进行变量分离得
并求满足初始条件:x0,y1的特解.
解:对原式进行变量分离得:
3解:原式可化为:12.
解
15.
16.
解:
,这是齐次方程,令
17解:原方程化为
令
方程组
则有
令
当当
另外19. 已知fx.
解:设fxy, 则原方程化为 两边求导得
20.求具有性质 xt+s的函数xt,已知x’0存在。
解:令ts0x0 若x00 得x-1矛盾。
所以x00. x’t 两边积分得arctg xtx’0t+c 所以xttg[x’0t+c] 当t0时 x00 故c0 所以
xttg[x’0t]
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