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附录5 《最优化方法》复习题
1、设是对称矩阵,,求在任意点处的梯度和Hesse矩阵.
解 .
2、设,其中二阶可导,,试求.
解 .
3、设方向是函数在点处的下降方向,令
,
其中为单位矩阵,证明方向也是函数在点处的下降方向.
证明 由于方向是函数在点处的下降方向,因此,从而
,
所以,方向是函数在点处的下降方向.
4、是凸集的充分必要条件是的一切凸组合都属于.
证明 充分性显然.下证必要性.设是凸集,对用归纳法证明.当时,由凸集的定义知结论成立,下面考虑时的情形.令,
其中,且.不妨设(不然,结论成立),记,有,
又,
则由归纳假设知,,而,且是凸集,故.
5、设为非空开凸集,在上可微,证明:为上的凸函数的充要条件是.
证明 必要性.设是上的凸函数,则及,有
,
于是 ,
因为开集,在上可微,故令,得
,即.
充分性.若有,
则,取,从而
,,
将上述两式分别乘以和后,相加得
,
所以为凸函数.
6、证明:凸规划的任意局部最优解必是全局最优解.
证明 用反证法.设为凸规划问题的局部最优解,即存在的某个邻域,使.若不是全局最优解,则存在,使.由于为上的凸函数,因此
,有
.
当充分接近1时,可使,于是,矛盾.从而是全局最优解.
7、设为非空凸集,是具有一阶连续偏导数的凸函数,证明:是问题的最优解的充要条件是:.
证明 必要性.若为问题的最优解.反设存在,使得
,则是函数在点处的下降方向,这与为问题的最优解矛盾.故.
充分性.若.反设存在,使得.
,
因为凸集,在上可微,故令,得
,这与已知条件矛盾,故是问题的最优解.
8、设函数具有二阶连续偏导数,是的极小点的第次近似,利用在点处的二阶Taylor展开式推导Newton法的迭代公式为
.
证明 由于具有二阶连续偏导数,故
.
且是对称矩阵,因此是二次函数.为求的极小点,可令,即,若正定,则上式解出的的平稳点就是的极小点,以它作为的极小点的第次近似,记为,即,这就得到了Newton法的迭代公式.
9、叙述常用优化算法的迭代公式.
(1)0.618法的迭代公式:
(2)Fibonacci法的迭代公式:.
(3)Newton一维有哪些信誉好的足球投注网站法的迭代公式: .
(4)最速下降法用于问题的迭代公式:
(5)Newton法的迭代公式:.
(6)共轭方向法用于问题的迭代公式:
.
10、已知线性规划:
(1)用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值;
(2)写出线性规划的对偶问题;
(3)求解对偶问题的最优解和最优值.
解 (1)引进变量,将给定的线性规划问题化为标准形式:
3 1 1 1 0 0 60 1 -2 2 0 1 0 10 1 1* -1 0 0 1 20 -2 1 -1 0 0 0 0 2 0 2 1 0 -1 40 3 0 0 0 1 2 50 1 1 -1 0 0 1 20 -3 0 0 0 0 -1 -20 所给问题的最优解为,最优值为.
(2)所给问题的对偶问题为:
(1)
(3)将上述问题化成如下等价问题:
引进变量,将上述问题化为标准形式:
(2)
-3 -1 -1 1 0 0 2 -1 2 -1* 0 1 0 -1 -1 -2 1 0 0 1 1 -60 -10 -20 0 0 0 0 -2 -3 0 1 -1 0 3 1 -2 1 0 1 0 1 -2 0 0 0 1 1 0 -40 -50 0 0 -20 0 20 问题(2)的最优解为,最优值为(最小值).
问题(1)的最优解为,最优值为(最大值).
11、用0.618法求解 ,要求缩短后的区间长度不超过0.2,初始区间取.
解 第一次迭代:
取.
确定最初试探点分别为
,.
求目标函数值:,.
比较目标函数值:.
比较.
第二次迭代:
.
.
.
第三次迭代:
.
.
.
第四次迭代:
.
.
.
第五次迭代:
.
.
.
第六次迭代:
.
.
.
第七次迭代:
.
.
.
第八次迭代:
.
.
.
第九次迭代:
.
.
.
故.
12、用最速下降法求解 ,取,迭代两次.
解 ,
将写成的形式,则.
第一次迭代:
.
第二次迭代:
.
13、用FR共轭梯度法求解 ,取,迭代两次.若给定判定是否还需进行迭代计算.
解 ,
再写成,,.
第一次迭代:
,令,
从出发,沿进行一维有哪些信誉好的足球投注网站,即求的最优解,得
.
第一次迭代:
.,
.
从出发,沿进行一维有哪些信誉好的足球投注网站,即求
的最优解,得
.
此时
.
得问题的最优解为,无需再进行迭代计算.
15、用Powell法求解,取,初始有哪些信誉好的足球投注网站方向组,给定允许误差(迭代两
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