复变函数与积分变换刘建亚作业答案.docx

《复变函数与积分变换》作业参考答案习题1：4、计算下列各式(1) ； (3) ；(5) ，求，，； (7) 。解：(1) ；(3) ；(5)，，．(7)因为，所以，即时，；时，；时，；时，；时，；时，．习题2：3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数．(2)；(4)(6)。解：(2) 因为，，，，，．这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，但柯西-黎曼方程仅在上成立，所以只在直线上可导，此时，但复平面上处处不解析．(4) 因为，，，，，．这四个一阶偏导数都连续，故和处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以在复平面内解析，并且．(6) 所以，在除外处处解析，且．4、指出下列函数的奇点．(1) ；(2) ．解：(1) 所以，的奇点为0，．(2) 所以，的奇点为，．10、如果在区域内解析，并且满足下列条件之一，试证在内是一常数．(2) 在内解析；证明：由在区域内解析，知、在区域内可微，且，．同理，由在内解析，知，．从而我们得到，所以、皆为常数，故在内是一常数．15、求解下列方程：(2) 解：，于是18、求，的值及主值．解：，所以其主值为；，所以其主值为．19、求，，，的值．解：；；；．20、求，，，，的值．解：；；；；22、解方程：(1) ；解：，．习题3：1、沿下列路径计算积分：(1) 从原点至的直线段；(2) 从原点沿实轴至2，再由2铅直向上至；(3) 从原点沿虚轴至，再由沿水平方向向右至．解：(1) 从原点至的直线段的复参数方程为，，参数，所以(2) 从原点沿实轴至2的直线段的复参数方程为，参数，由2铅直向上至的直线段的复参数方程为，参数，所以(3) 从原点沿虚轴至的直线段的复参数方程为，参数，由沿水平方向向右至的复参数方程为，参数，所以2、分别沿与算出积分的值．解：的复参数方程为，，参数所以；的复参数方程为，，参数所以5、计算积分的值，其中为正向圆周：(1)解：设是内以被积函数的奇点为圆心的正向圆周，那么6、试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？是正向圆周：(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) ．解：(1) ，根据柯西积分定理；(2) ，根据柯西积分定理；(3) ，根据柯西积分定理；(4) ，根据复合闭路定理；(5) ，根据柯西积分定理；(6) ，根据柯西积分定理及复合闭路定理．7、沿指定曲线的正向计算下列积分：(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，；(6) ，为包围的闭曲线；(7) ，；(8) ，；(9) ，；(10) ，．解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ．21、证明：和都是调和函数，但是不是解析函数．证明：因为，，，，，，，，所以，，且，．即和都是调和函数，但是不是解析函数．22、由下列各已知调和函数求解析函数，并写出的表达式：(1)；(2)，；(3)，．解：(1) 因为是调和函数，所以，．于是．那么，则，所以，(2) ，．因为是调和函数，所以，从而．由知，所以．(3) 因为是调和函数，所以，．于是．那么，则，所以，由知，所以．习题4：1、下列数列是否收敛？若收敛，求其极限．(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．解：(1) ，当时，实部，虚部，所以收敛于．(2) ，当时，那么，所以收敛于0．(3) 当时，实部是发散的，所以发散．(4) ，实部和虚部都发散，所以发散．2、判断下列级数的收敛性与绝对收敛性：(1)；(3)．解：(1) 记，则当时，那么不趋近于0，所以级数发散．(3) 收敛，即级数绝对收敛，所以收敛．7、将下列各函数展成的幂级数，并指出它们的收敛半径．(1)；(3)．解：(1) ．因为，所以收敛半径．(3) 因为，所以收敛半径．8、将下列各函数在指定点处展成泰勒级数，并指出它们的收敛半径．(3) ，；(4) ，；(6) ，．解：(3) ，则．因为，所以收敛半径．(4) ，则．因为，所以收敛半径．(6) ．因为，所以收敛半径．10、求下列各函数在指定圆环域的洛朗级数展开式：(2) ，，；(5) ，在以为中心的圆环域内；(7) ，．解：(2) 在内，由于，且，所以，从而．在内，由于，所以，从而．(5) 当时，由于，且，所以，从而．当时，由于，所以，且，从而，所以．(7) 由于且，所以习题5：1、求下列函数的孤立奇点并确定它们的类别，若是极点，指出它们的级．(1) ；(3) ；(4) ；(7) ；(11) ．解：(1) 易见，是的孤立奇点．由于，，所以，是极点．，一级极点，，二级极点．(3) ，所以是极点．，二级极点．(4) 易见是的孤立奇点，且，所以是