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院(系): 专业: 年级: 学生姓名: 学号:
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华中师范大学 2006–2007 学年第一学期
期末考试试卷(A卷)参考答案
课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 任课教师 樊、朱、刘
题型 填空题 判断题 计算题 证明题 总分 分值 15 15 50 20 100 得分
得分 评阅人 一、填空题:(共5题,每题3分,共15分)
1、一个向量构成的向量组线性无关当且仅当 .
2、矩阵的初等因子组为.
3、设A 为向量空间V到U的线性映射,则 = dim(V) .
4、设的初等因子组为,则的不变因子组是 .
5、设A是复矩阵,如果A满足 , 则称A是正规矩阵 .
得分 评阅人 二、判断题: (共5题, 每题3分, 共15分,对的请打“ √ ” ,错的请打 ””)
1、设是n阶—矩阵,则可逆当且仅当是有限个初等—矩阵的乘积。(√ )
得 分 评阅人 四、证明题:(共2题,共20分)
1、 (本题10分) 设A是酉空间V的一个对称变换,W是A的不变子空间,证明:也是A不变子空间.
证明: 由A 是酉空间V的对称变换 , 故A =A*, 从而对任意的 ,有
(5分)
又因为W是A 的不变子空间,故对任意的,有,从而
所以 ,即也是A 不变子空间。 (10分)
2、 (本题10分) 设A是酉空间V的正规变换,是A的属于特征值的特征向量,证明:是A* 的属于特征值的特征向量.
证明:由假设,,且由A是酉空间V的正规变换,从而
=, (3分)
故有
=--+
= --+
= --+
= --+ = 0 . (8分)
由内积的正定性,有,因此 (10分)
3、 (本题20分) 设A = ,
(1) 证明:矩阵A是正规矩阵;
(2) 求酉矩阵,使得为对角形,并写出此对角形.
解:(1) 因为有
===
所以矩阵A是正规矩阵。 (5分)
(2) 由于 ==
=, 所以A的特征根为。 (11分)
当时, 解线性方程组AX=0,得基础解系为:。(12分)
当时, 解线性方程组,得基础解系为:。 (13分)
当时, 解线性方程组,得基础解系为:。(14分)
将这三个向量单位化得:
,
, 令 (17分)
则Q是酉矩阵,且 =。 (20分)
(3)由子式因子组和不变因子组之间的关系,得A的不变因子为:
(12分)
(4) 由初等因子组和不变因子组之间的关系,得A的初等因子组为:,; (16分)
(5) A的Jordan标准形为:。 (20分)
2、 (本题10分) 设线性变换A 在基底()下的矩阵为
,而 ()= (),
求线性变换A 在基底()下的矩阵.
解: A ()=A ()=()A
=()A (5分)
所以线性变换A 在基底()下的矩阵为
= (10分)
2、正交变换的积还是正交变换. ( √ )
3、对称变换的积还是对称变换.
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