华中师范大学线性代数与解析几何考试试卷A卷2007年1月.doc

3 院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 华中师范大学 2006–2007 学年第一学期 期末考试试卷（A卷）参考答案 课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 任课教师 樊、朱、刘 题型 填空题 判断题 计算题 证明题 总分 分值 15 15 50 20 100 得分 得分 评阅人 一、填空题：（共5题，每题3分，共15分） 1、一个向量构成的向量组线性无关当且仅当 . 2、矩阵的初等因子组为. 3、设A 为向量空间V到U的线性映射，则 = dim(V) . 4、设的初等因子组为，则的不变因子组是 . 5、设A是复矩阵，如果A满足 , 则称A是正规矩阵 . 得分 评阅人 二、判断题： （共5题， 每题3分， 共15分，对的请打“ √ ” ，错的请打 ””） 1、设是n阶—矩阵，则可逆当且仅当是有限个初等—矩阵的乘积。（√ ） 得 分 评阅人 四、证明题：（共2题，共20分） 1、 （本题10分） 设A是酉空间V的一个对称变换，W是A的不变子空间，证明：也是A不变子空间. 证明： 由A 是酉空间V的对称变换 ， 故A =A*， 从而对任意的 ，有 （5分） 又因为W是A 的不变子空间，故对任意的，有，从而 所以 ,即也是A 不变子空间。 （10分） 2、 （本题10分） 设A是酉空间V的正规变换，是A的属于特征值的特征向量，证明：是A* 的属于特征值的特征向量. 证明：由假设，，且由A是酉空间V的正规变换，从而 =， （3分） 故有 =--+ = --+ = --+ = --+ = 0 . （8分） 由内积的正定性，有，因此 （10分） 3、 （本题20分） 设A = ， (1) 证明：矩阵A是正规矩阵； (2) 求酉矩阵，使得为对角形，并写出此对角形. 解：（1） 因为有 === 所以矩阵A是正规矩阵。 （5分） （2） 由于 == =， 所以A的特征根为。 （11分） 当时， 解线性方程组AX=0,得基础解系为：。（12分） 当时， 解线性方程组,得基础解系为：。 （13分） 当时， 解线性方程组,得基础解系为：。（14分） 将这三个向量单位化得： ， ， 令 （17分） 则Q是酉矩阵，且 =。 （20分） （3）由子式因子组和不变因子组之间的关系，得A的不变因子为： （12分） （4） 由初等因子组和不变因子组之间的关系，得A的初等因子组为：，； （16分） （5） A的Jordan标准形为：。 （20分） 2、 （本题10分） 设线性变换A 在基底()下的矩阵为 ，而 ()= (), 求线性变换A 在基底()下的矩阵. 解： A ()=A ()=()A =()A （5分） 所以线性变换A 在基底()下的矩阵为 = （10分） 2、正交变换的积还是正交变换. （ √ ） 3、对称变换的积还是对称变换.