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一、如图所示的1D杆结构,试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件,并求出它的所有解答。
注意它的弹性模量为E、横截面积A
解:如图1.1所示的1D杆结构,其基本变量为
位移
应变
应力
取微单元体,其应力状态如图1.2,由泰勒展开式知
略去2阶以上的商阶微量知
由力的平衡知:
即力的平衡方程为:①
位移由图1.3知(泰勒展开,略去商阶微量)
即几何方程为:②
根据虎克定律知③
由①、②、③知该1D杆的基本方程为
在节点1时位移:
在节点2时应力:
即其边界条件为 on
on
由①式知 ④
④代入③解得:
⑤
、为待定系数
结合边界条件知
解知得,
∴
二、设平面问题中的应力问题
其中(1、2、………9)为常数,令所有体积力为零,对下面特殊情况说明平衡是否满足?为什么?或者之间有什么关系才满足平衡。
除,,外,其余为零。
所有均为非零。
解:对于此平面问题,由力的平衡方程(体积力为零):
可以得出
当除,,外,其余为零时,,平衡方程成立,故此情况下平衡。
当时,、并不一定为零,此情况下平衡方程并不一定成立,故此情况下不满足平衡,只有在时,才满足平衡。
当时,平衡方程成立,故此情况下满足平衡。
所有均为非零时,只有当,时,平衡方程才成立,才能够满足平衡,否则不平衡。
三、下列应力分布是否满足平衡条件(体积力为零),(2D平面应力问题),描述就如图所示平面结构,该应力函数所表示时得边界应力。
解:根据力得平衡方程(体积力为零时)
知
上两个等式成立,即平衡方程成立,即此情况满足平衡条件。
其边界应力,
,
,
作图如下:
故边界下应力如图2.2所示:
其边界得剪应力如图2.3所示:
四、如图所示 已知,,(平面应力问题)
求:(1)斜面上应力,的表达式
(2)最大主应力,最小主应力及此时斜面的方向余弦。
解:(1)由力的平衡知(设厚度为t)
..........①
..........②
又 ......③
由①③知 ........④
由②知 .......⑤
④+⑤知
整理得 ........⑥
④-⑤整理得:
.......⑦
(2)由⑥知:
∴ .........⑧
⑧式中,
为的函数,对⑧式两边进行求导,并令可得:
........⑨
对⑦式进行化简可得 ........⑩
⑨代入⑩中可得,即在所在斜面上确定得正应力即最大或最小主应力。
由⑧化简:
.........(11)
由⑨知
两边平面化简可得 .........(12)
由⑨还知: ........(13)
(12)、(13)代入(11)可得时的:
∴最大主应力
最小主应力
由⑨式知
∴
∴
五、分别就下列情形,写出所有基本方程(分量形式,指标形式),各基本变量(分量形式、指标形式及对应关系)。
(1)1D情形
(2)2D情形
(3)a、基本变量
分量形式:;;
指标形式:;; ()
对应关系:;;
b、基本方程
分量形式: (体积力)
指标形式 ()
(2)2D情形
a、基本变量
分量形式
、、
、、
指标形式 (1,2)
(=1,2)
(=1,2)
对应关系 ,
,,
b、基本方程
分量形式
几何变形方程
材料物理方程
或
指标形式:力平衡方程
几何变形方程
材料物理方程
或
(3)3D情形
a、基本变量
分量形式
指标形式
对应关系:,,
,,
,,,
,,
,,
b、基本方程
分量形式
力平衡方程
几何变形方程
材料的物理方程
指标形式
力平衡方程
几何变形方程
材料物理方程 或 ()
六、分别给出平面应力平面应变状态下的前提条件及表达式,推导两种情况下的
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