历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题.doc

04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类） 计算题（每小题15分，满分60分） 计算：。 解: 原式 其中 原式 . ①在课堂上作为一个典型的例子; ② 计算：。 解: 原式 . 其他想法: 原式 后者 , 看来做不下去了!!! 求函数在 上的最大、小值。 解: ①在圆内(开集) , , 解得驻点, 但不在圆域内. ②在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题. 解得: 驻点 , 故最大值为, 最小值为. 计算：，其中 。 这题不能用对称、奇偶性等性质来做！ 二．（本题满分20分） 设，求. 解: , 则, 则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得: , 令,得: ,而, 则 . 三．（本题满分20分） 设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算 。 解: 方程两边对求导得: , 则, 直线段的方程为: 令, , 则, . 四．（本题满分20分） 设函数连续，，且，试证明：，。 证明: ① 由于, 故, 无论怎么分、怎么取， 存在且相等， 即， 由于连续，故，；（理由说的不够充分） ②假设存在，使得，不妨设， 则， 由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然， 而与矛盾， 故假设错误，即，。 五．（本题满分15分） 判别级数的敛散性。 解：斯特林公式： 极限形式：. 故收敛. 判别的敛散性: 证明: (1) 证明, 即 当, 显然成立; 假设时也成立,即; 当时, 而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个). , 而, 由夹逼定理得: . ,而收敛, 由比较判别法得: 也收敛. 六．（本题满分15分） 设函数在上连续，证明： ，。 证明: . 许瓦兹不等式: ①有限项情况:, (乘积和的平方小于等于平方和的乘积) ②可推广到可数情况: ; ③均值的形式: ; ④积分的形式: 2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题 计算题（每小题12分满分散60分） 计算 设可导，求常数的值 计算 计算 求函数的值。 （本题满分20分）设在点二阶可导，且， 求和的值。 （本题满分20分）证明：当时， （本题满分20分）设， 试比较A，B，C的大小。 （本题满分15分）设 求； 证明数列单调减少。 （本题满分15分）对下列分别说明是否存在一个区间使，并说明理由。 （1） （2） （3） 2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答 一．1. 解 . 解：， ， 因为在处连续，所以， ， ， 由在处可导， ， 于是. 解：. 解：， ， ， ，， . 解： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 解：； ； ， ， 所以. 证明：令，； 因为，； ，； ，， 所以，进而，， 即得，. 解： ； ， 由于，得， ， 利用，， 得， 于是， 故. 五、设，. 求； （2）证明数列单调减少. 解：（1）显然 故有 . ， ， 于是数列单调减少. 解：（1），在上严格单调递增， 欲使，必有，. 考虑， ， ， ，， 所以存在区间，使. 在上严格单调减少， 欲使，必有，. ，， 所以存在区间，，使得. 在上严格递增， 欲使， 必须，. ， ， ，此方程无实数解， 故不存在区间，，使得. 2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题 计算题（每小题12分，满分60分） 1、计算. 解: 。 2、求. 解: . 3、求. 解: . 4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程. 解:令 则,, 令所求平面方程为: , 在曲面上取一点,则切平面的法向量为, 则 在曲面上取一点,则切平面的法向量为, 则. 解得: 即所求平面方程为: . 二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由. 解: 当, 当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根. 三、(满分20分)求中的系数. 解: 当时, 故中的系数为. 四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线. 解： 而, , , 故. 五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为. 证明：必要性 由于,则, . 充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立; 即只需证明: , 而, 故只要说明: ,即, 当时,显然成立; 假设当时,也成立,即; 当时