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04年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题(工科类)
计算题(每小题15分,满分60分)
计算:。
解: 原式
其中
原式
.
①在课堂上作为一个典型的例子;
②
计算:。
解: 原式
.
其他想法: 原式
后者
, 看来做不下去了!!!
求函数在
上的最大、小值。
解: ①在圆内(开集)
, , 解得驻点, 但不在圆域内.
②在圆周上, 求的极值, 是条件极值问题.
解得: 驻点
,
故最大值为, 最小值为.
计算:,其中
。
这题不能用对称、奇偶性等性质来做!
二.(本题满分20分) 设,求.
解: , 则,
则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:
,
令,得:
,而,
则 .
三.(本题满分20分) 设椭圆在点的切线交轴于点,设为从到的直线段,试计算
。
解: 方程两边对求导得:
,
则,
直线段的方程为:
令,
,
则,
.
四.(本题满分20分) 设函数连续,,且,试证明:,。
证明: ①
由于, 故, 无论怎么分、怎么取,
存在且相等, 即,
由于连续,故,;(理由说的不够充分)
②假设存在,使得,不妨设,
则,
由于函数连续,故在内存在最大、最小值分别为,显然,
而与矛盾,
故假设错误,即,。
五.(本题满分15分) 判别级数的敛散性。
解:斯特林公式:
极限形式:.
故收敛.
判别的敛散性:
证明:
(1) 证明, 即
当, 显然成立;
假设时也成立,即;
当时,
而是单调递增数列, 而且有界(证明两个重要极限里第2个).
, 而, 由夹逼定理得: .
,而收敛, 由比较判别法得: 也收敛.
六.(本题满分15分) 设函数在上连续,证明:
,。
证明:
.
许瓦兹不等式:
①有限项情况:,
(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)
②可推广到可数情况: ;
③均值的形式: ;
④积分的形式:
2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题
计算题(每小题12分满分散60分)
计算
设可导,求常数的值
计算
计算
求函数的值。
(本题满分20分)设在点二阶可导,且,
求和的值。
(本题满分20分)证明:当时,
(本题满分20分)设,
试比较A,B,C的大小。
(本题满分15分)设
求;
证明数列单调减少。
(本题满分15分)对下列分别说明是否存在一个区间使,并说明理由。
(1) (2) (3)
2005年浙江省高等数学(微积分)竞赛试题解答
一.1. 解
.
解:,
,
因为在处连续,所以,
,
,
由在处可导, ,
于是.
解:.
解:,
,
,
,,
.
解:
当时,;
当时,;
当时,;
当时,.
解:;
;
,
,
所以.
证明:令,;
因为,;
,;
,,
所以,进而,,
即得,.
解:
;
,
由于,得,
,
利用,,
得,
于是,
故.
五、设,.
求; (2)证明数列单调减少.
解:(1)显然
故有 .
,
,
于是数列单调减少.
解:(1),在上严格单调递增,
欲使,必有,.
考虑,
,
,
,,
所以存在区间,使.
在上严格单调减少,
欲使,必有,.
,,
所以存在区间,,使得.
在上严格递增,
欲使,
必须,.
,
,
,此方程无实数解,
故不存在区间,,使得.
2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题
计算题(每小题12分,满分60分)
1、计算.
解:
。
2、求.
解:
.
3、求.
解:
.
4、求过且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.
解:令
则,,
令所求平面方程为: ,
在曲面上取一点,则切平面的法向量为,
则
在曲面上取一点,则切平面的法向量为,
则.
解得:
即所求平面方程为: .
二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.
解: 当,
当, 且的增长速度要比来得快!所以无实根.
三、(满分20分)求中的系数.
解: 当时,
故中的系数为.
四、(20分) 计算,其中是球面与平面的交线.
解:
而,
,
,
故.
五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.
证明:必要性
由于,则,
.
充分性;要证明,只需证明: ,这里,若,不等式显然成立;
即只需证明: ,
而,
故只要说明: ,即,
当时,显然成立;
假设当时,也成立,即;
当时
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