南航0714矩阵论试卷答案.docx

南 京 航 空 航 天 大 学研究生考试参考答案及评分标准 共 4 页 第 1 页一、（20分）解：（1），的特征多项式为 ，的特征值………………………….. 6 分（2）的行列式因子：；的不变因子：；的初等因子：；……. 7 分（3）因为的最小多项式； == ……………………………………….. 4 分 （4）的Jordan标准形 …………………………………………………….. 3分二、（20分）解：（1）的维数为4，一组基 ，，，；………. 5 分（2）则 ，；；。对加法和数乘封闭，所以是的子空间。的维数为3，一组基，，；……….. 5 分二OO 七 ～二OO 八 学年 第 一 学期 课程名称： 矩阵论 试卷类型 A 卷 课程编号: A000003 参考答案及评分标准制定人：2008 年 1 月 12 日 共 4 页 第 2 页（3），；， ；， 。所以、、为的一组标准正交基。 ……..…..……. 5 分（4）在（1）中所取基下的矩阵为；的核：;的值域：=W.…………………………………………. 5 分三、（20分）解：（1），，，； ………………….………. 8 分 （2）若则至少有一个，若则，， 所以 是上的矩阵范数。 所以是上的相容矩阵范数。……….………………………………………. 8 分 共 4 页 第 3 页（3）， 不妨设，则= 记，则，， 综上可知： ………………………………………………..……. 4 分四、（20分）（1）矩阵A的分解： ……..………. 6 分（2）= ………………………………..……. 8 分（3） 该方程组不相容。极小最小二乘解 ……………………………………………… 6分 共 4 页 第 4 页五、（20分）（1），，时成立 即时成立。……………………………………………….…. 10 分（2），为A 的前k 阶顺序主子式，存在可逆矩阵,使得，。 ……………………. ………….…….. 6 分(3)设是矩阵的任一特征值，相应的特征向量为，令，则，由，有 ，从而 又因为，所以，由的任意性，可知A的所有特征值均为正数，所以A正定。……………………..……. 4 分 共 3 页 第 1 页一、（20分）解：（1）的不变因子：；的初等因子：；的最小多项式。（2）的Jordan标准形 ，相应的可逆变换矩阵为。（3），故矩阵序列发散。二、（20分）解：（1）；；；， 。（2）设是相应于特征值的特征向量，，两边取矩阵范数导出的上向量范数可得：，；又可逆，是的特征值，由上述证明可知：；综上所述有： 。 二OO 七 ～二OO 八 学年 第 一 学期 课程名称： 矩阵论 试卷类型 B 卷 课程编号: A000003 参考答案及评分标准制定人：2008 年 1 月 18 日 共 3 页 第 2 页三、（20分）解：（1） 可取为的一组基，则线性变换 在该基下的表示矩阵为；（2）线性变换的特征值为5，1，3；在（1）所取基下相应的特征向量分别为；（3）具有3个互异特征值，可对角化，其对角化的一组基为 。四．（1）的满秩分解为：；；（2）易证，该方程组不相容，其极小最小二乘解为:.五．（1）当且仅当各阶顺序主子式均为正：， 即时成立。（2）是Hermite矩阵，存在酉矩阵，使得， 由此可知：， 共 3 页 第 3 页 ，有 。（3）存在，构造可逆矩阵,使得， 从而有 。 共 4 页 第 1 页二OO 八 ～二OO九 学年 第 1 学期 课程名称：矩阵论 A卷 课程编号: A000003 参考答案及评分标准制定人：《矩阵论》课程组 考试日期: 2009年1月13 日一、（20分）（1）特征值多项式为 ---------------3特征值为 0，—1（二重） ----------------3（2）不变因子 -------------6初等因子 --------------2最小多项式 ---------------2（3）Jordan标准形 ----------------------4二、（20分）（1） --------- 2’ *4 = 8（2）证明：(i) 因为可逆，则的特征值均非零。设是的任一特征值，是相应的特征向量，则因为是上的相容矩阵范数，则存在与相容的向量范数，从而因为，则。---------6（ii） 容易验证：满足相容矩阵范数的四个条件。 -----------6共 4 页 第 2 页三、（20分）（1）的满秩分解为 -----------------5 ---------5（2）因为 所以不相容的。 -----------3其极小最小二乘通解为 -----------3（3）因