第07讲自主招生数学试题中的三角函数.doc

第七讲:三角函数 1 第七讲:自主招生数学试题中的三角函数 杨老师专论 （电话号码：2078159；手机号码 三角函数既有其丰富的性质和理论体系,又具有独特的方法功能,因此是各类考试必关注的重点之一.纵向分析,高考重点考察三角函数的性质,联赛着意于变形及应用的技巧,自主招生考试中的三角函数问题则更关注三角变换、反三角函数和综合应用. Ⅰ.知识拓展 1.三倍角公式:sin3α=3sinα-4sin3α=4sin(-α)sinαsin(+α),cos3α=4cos3α-3cosα= 4cos(-α)cosαcos(+α),tan3α=tan(-α)tanαtan(+α); 2.万能公式:sinα=,cosα=,tanα=; 3.积化和差公式:sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; 4.和差化积公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2cossin,cosα+cosβ= 2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin; 5.最小正周期:若周期函数f(x),g(x)的最小正周期分别是T1,T2,且是有理数,则f(x)g(x),f(x)g(x), (g(x)≠0)均是周期函数,且f(x)g(x)的最小正周期T是T1与T2的“最小公倍数[T1,T2]”,f(x)g(x), 的最小正周期T不超过T1与T2的“最小公倍数[T1,T2]”; 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=arcsinx [-1,1] [-,] 奇函数 递增 y=arccosx [-1,1] [0,π] 非奇非偶 递减 y=arctanx R (-,) 奇函数 递增 y=arccotx R (0,π) 非奇非偶 递减 6.反三角函数:⑴性质: ⑵公式:当x∈[-1,1]时, sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x, sin(arccosx)=, cos(arcsinx)=, arcsin(-x)=-arcsinx, arcos(-x)=π-arccosx,arcsinx+arccosx=;当x∈R时,tan(arctanx)=x,cot(arccotx)=x,tan(arccotx)=(x≠0), cot(arctanx)=(x≠0),arctan(-x)=-arctanx,arccot(-x)=π-arccotx,arctanx+arccotx=. 7.简单三角方程:⑴定义:当|a|1时,sinx=a的解集为,当|a|≤1时,sinx=a的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsina,k∈Z},当|a|1时,cosx=a的解集为,当|a|≤1时,cosx=a的解集为{x|x=2kπarccosa,k∈Z},当∈R时,tanx=a的解集为{x|x=kπ+arctana,k∈Z},当∈R时,cotx=a的解集为{x|x=kπ+arccota,k∈Z}. 2 第七讲:三角函数 Ⅱ.归类分析 1.同角关系: [例1]:(2007年复旦大学保送生考试试题)已知sinα、cosα是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,这里a∈R,则sin3α+cos3α=( ) (A)-1- (B)1+ (C)-2+ (D)2- [解析]: [练习1]: 1.①(2008年清华大学自主招生数学试题)已知sinθ+cosθ=,求θ的取值范围. ②(2008年武汉大学保送生考试试题)如果sin3α+cos3α0,那么sinα+cosα的取值范围为( ) (A)[-,0) (B)[-,1) (C)(0,] (D)(0,) ③(2008年上海交通大学保送生考试试题)若cosx-sinx=,则cos3x-sin3x= . 2.①(2005年复旦大学保送生考试试题)已知sinα+cosα=a(0≤a≤),求关于si