二项式定理.知识框架.doc

要求层次 重难点 二项式定理 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 二项式定理 ① 能用计数原理证明二项式定理． ② 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数． ②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到． ⑷几点注意 ①通项是的展开式的第项，这里． ②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的． ③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设，则得公式：． ⑥通项是中含有五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值． 2．二项式系数的性质 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是：，从函数的角度看可以看成是为自变量的函数，其定义域是：． 当时，的图象为下图： 这样我们利用“杨辉三角”和时的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 事实上，这一性质可直接由公式得到． ②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大． 由于展开式各项的二项式系数顺次是 ， ，．．．， ，，．．．， ． 其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当依次取1，2，3，…等值时，的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间． 当是偶数时，是奇数，展开式共有项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为． 当是奇数时，是偶数，展开式共有项，所以有中间两项． 这两项的二项式系数相等并且最大，最大为． ③二项式系数的和为，即． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 ． 常见题型有： 求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题． 2 二项式定理 模块框架 高考要求 知识内容