第4章 流动阻力和水头损失-4.3、4.4.pptx

4.3 实际流体运动微分方程(N-S方程) 流动阻力与水头损失 2 4.3 实际流体运动微分方程(N-S方程) 理想流体运动微分方程（欧拉方程） 实际流体运动微分方程的导出思路： 理想流体与实际流体的比较 以应力形式表示的实际流体运动微分方程 应力之间的关系（包括切向、法向应力） 导出N-S方程 流动阻力与水头损失 3 一、理想流体与实际流体的比较 实际流体与理想流体的区别在于存在着粘性力。因此，在推导实际流体运动微分方程时，需要考虑剪切表面力，即粘性表面力。 比较项 理想流体 实际流体 粘性 无 有 法向应力 px= py= pz= pn px≠ py≠ pz ≠ pn 切向应力 τ=0 τ≠0 微小六面体 表面受力个数 法向力6个 切向力0个 法向力6个 切向力12个 变形 不变形 变形 流动阻力与水头损失 4 二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程 应用微元分析法进行公式的推导： 取微元体：取空间六面体为研究对象，边长dx、dy、dz 受力分析： 质量力——X、Y、Z 表面力——法向应力（6个） ——切向应力（12个） 注：应力符号中，第一脚标表示作用面法线方向；第二脚标表示应力方向。 在相互垂直平面上，切应力成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。 流动阻力与水头损失 5 面 法向应力 切向应力 AE AC AG BH FH DH 二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程 流动阻力与水头损失 6 导出关系： 由牛顿第二定律 ，可得（以x方向为例）： 解得： 二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程 流动阻力与水头损失 7 举一反三，得出结论： 以应力形式表示的实际流体运动微分方程如下： 方程中含有速度、压力、剪应力等共12个未知数，而运动微分方程联立连续性方程也仅有4个方程，方程不封闭，无法求解。 二、以应力形式表示的实际流体运动微分方程 流动阻力与水头损失 8 三、应力之间的关系 1、斯托克斯假设： (1) 、应力和变形速率成线性关系，具体的： 切向应力与角变形率成线性关系； 法向应力与线变形率成线性关系。 (2) 、当角变形率为零时，法向应力等于静压强，流体处于平衡状态。 流动阻力与水头损失 9 切应力之间以及切应力与应变之间的关系 由广义牛顿内摩擦定律，即斯托克斯公式 ，可得： 三、应力之间的关系 流动阻力与水头损失 10 法向应力与平均压应力p之间的关系： 实际流体中，由于粘性的存在，各方向的法向应力不相等，引入平均压强，实际等于热力学平衡压强。平均压力再加上附加法向力，构成实际流体的法向应力。即： 结合连续性方程，有： 三、应力之间的关系 流动阻力与水头损失 11 运动流体的应力状态 在运动粘性流体中，一点的表面应力与作用面不垂直，既有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面的方位有关，称其为应力状态。 一点的应力状态可用通过该点三个互相垂直的面九个应力分量完全确定，且只有六个相互独立。表示为矩阵形式： 流动阻力与水头损失 12 考虑到区分理想流体或粘性流体的静止或运动状态 ，上式可写为一般形式： 上式右边第一项为“静压强”项，第二项为“偏应力”项，由流体运动产生，流体静止时为零。 流动阻力与水头损失 13 四、导出N-S方程 将应力关系代入实际流体运动微分方程的应力表达式中，可得（以x方向为例）： =0 流动阻力与水头损失 14 导出实际流体运动微分方程，即Navior-Stokes方程（简称N-S方程）： N-S方程的物理意义：单位质量流体所受质量力、法向表面力和粘性切应力在三个坐标轴的投影和等于加速度。 四、导出N-S方程 流动阻力与水头损失 15 N-S方程具有更为普遍的意义：对于理想流体ν＝0， N-S方程成为理想流体运动微分方程，即欧拉方程；当ux＝ uy＝ uz＝ 0时，N-S方程变成欧拉平衡微分方程。 实际流体运动微分方程的适用条件：不可压缩流体。 N-S方程的可解性： 方程中共有四个未知数 p、 ux 、 uy 、 uz。N-S方程与连续性方程联立，方程封闭，理论上可解。 事实上，由于方程的非线性性，N~S方程的求解是一个复杂问题。大部分情况下不能获得精确解，仅对某些简单的层流问题可解，如：平行平板间层流、圆管层流等。 说明： 流动阻力与水头损失 16 【例4-2】不可压缩粘性流体，流经宽为2H 的二维平板，流动是恒定流，且质量