第5章第5、6节.ppt

* 系统自由振动的微分方程是n个二阶的常微分方程组，其矩阵形式为 (5.5-1) 式中q(t)为广义坐标qi(t)(i=1,2,…,n)的向量。 如果给定2n个初始条件(即初始位移向量q(0)=q0和初始速度向量 ) ，就完全确定了方程的一组特解，这组特解就是系统对初始条件的响应。 数学上称这类问题为微分方程组的初值问题。 5.5 系统对初始条件的响应·振型叠加法 ●一般来说，式(5.5-1)是耦合(弹性耦合或惯性耦合)方程，这样在给定2n个初始条件下，要求解联立方程组。 ●显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度系统一样，每个方程可以独立求解。 ●前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的属性，而是由坐标系的选择所决定的。 ●借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程，这就是振型叠加法的长处。 解方程(5.5-1)的特征值问题，求得系统的振型矩阵u，取u为坐标变换矩阵，可以将方程(5.5-1)解耦。令 称?(t)为固有坐标向量。 式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对角矩阵。 (5.5-2) 将式(5.5-2)代入方程(5.5-1)后，得 (5.5-3) 由正交性得解耦的方程为 用uT左乘方程两边，得 若取正则振型矩阵u为坐标变换矩阵，有 称?(t)为正则坐标向量。 同样将式(5.5-4)代入方程(5.5-1)后，并用正则振型矩阵的转置uT左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 式中uTMu=I为单位矩阵，uTKu=?为对角元素是各阶固有频率平方的对角矩阵。 (5.5-4) (5.5-5) ●正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和由n阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。 由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程(5.5-3)和(5.5-5)在形式上与单自由度系统是一样的，所以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解，即 把方程(5.5-5)写成分量的形式为 (5.5-6) (5.5-7) 式中?r0和 (r=1,2,…,n)为正则坐标的初始位移和初始速度，它由给定的原坐标的初始条件q(0)=q0和 来确定。 为了避免求逆矩阵的繁琐运算，可以在方程(5.5-4)两边同时左乘uTM，有 由式(5.5-4)得 (5.5-8) (5.5-9) 这里必须注意的是u为正则振型矩阵。这样正则坐标向量的初始条件为 (5.5-10) 所以正则坐标的初始位移?r0和 初始速度可以表示为 由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为 (5.5-11) (5.5-12) 上式表达了系统对初始位移向量q0和初始速度向量 的响应，是由n个简谐运动叠加而成。 振型叠加法： ●采用振型矩阵作为坐标变换矩阵； ●将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换为固有坐标或正则坐标表示的相互独立的运动微分方程； ●广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表示的各阶固有振型的线形组合； ●振型叠加法的理论基础为展开定理。 例5.5-1 考虑图5.5-1所示的两自由度系统。若给定初始条件q1(0)=q2(0)=0， ， ，求系统的响应。 解：系统的运动微分方程为 写成矩阵形式为 式中 图 5.5-1 特征值问题为 特征方程为 求得固有频率为 为了求出固有振型，把固有频率代入特征值问题，有 为了确定系统对初始条件的响应，还需把振型向量进行正则化。为此，假定正则化振型向量具有如下形式 解得固有振型为 式中?1和?2为待定常数。 第一阶主振型 第二阶主振型 事实上，根据正则化方法，有 得到常数 由此得正则化振型为 组成系统的振型矩阵u，有 取u为坐标变换矩阵，即 代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置uT左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 其解为 正则坐标向量和原坐标向量的初始条件变换关系为 由此多自由度系统对于初始条件的一般响应为 根据初始条件q1(0)=q2(0)=0， ， ，所以响应为 其中 于是，得其响应为 ●许多工程结构可以简化为多个质量和弹簧组成的离散线性系统； ●研究质量和弹簧系统的运动时，不仅要知道系统的质量特性，而且要知道系统的刚度特性，这些特性以影响系数的形式包含在运动微分方程之中； ●刚度系数应该更恰当地称为刚度影响系数，而与之相对应的为柔度