第6章 流体流动微分方程.ppt

第六章 流体流动微分方程 流体流动微分方程是一组微分方程，包括连续性方程和运动方程。 连续性方程是流动流体质量守恒的数学描述。与第4章中基于控制体建立的质量守恒方积方程相对应，连续性方程是基于流场中的点（微元体）所建立的质量守恒微分方程。 运动方程则是流动流体动量守恒的数学描述。与第4章中基于控制体建立的动量守恒方程相对应，运动方程是基于流场中的点（微元体）所建立的动量守恒微分方程，又称为运动微分方程。通过第5章中对典型以为流动问题的分析，已经了解了将动量守恒定理应用于流场微元体从而建立运动微分方程的基本方法和过程。本章将把这一基本方法推广应用于三维情况，建立一般条件下的流体运动微分方程。 就其目的而言，积分方程反映流动过程中流体总质量、总动量和总能量的变化，而本章要建立的流动微分方程，目的在于流场分布的详细信息，以揭示宏观流动现象的内在规律。 第六章 流体流动微分方程 ６.１　连续性方程 ６.２　以应力表示的运动方程 ６.３　粘性流体运动微分方程 ６.４　流体流动微分方程的应用 6.1.1 直角坐标系中的连续性方程 　　连续性方程反映流动过程遵循质量守恒这一事实。对于流场中的微元体，质量守恒原理可以类似于控制体仿照式（4-9）表述为 为了获得（6-1）的数学表达式—连续性方程，不妨对图６-１所示的微元体进行分析。该微元体取自流场中的任意点Ａ，微元体在x、y、z方向的边长分别为dx、dy、dz，其六个面两两相互平行且分别垂直于x、y、z。流体在Ａ点的密度为ρ，速度为ν，其x、y、z方向的分量分别为 。一般而言，速度ν和密度ρ均为坐标x、y、z和时间ｔ的函数。 已知，流体穿越某一表面时的质量流量等于质量通量与表面积的乘积，而质量通量则为流体密度与流体在该表面上的法向速度的乘积，因此考察微元体上的输入与输出，首先要确定微元面上的法向速度。如图６-１所示,对于在流场中任意点Ａ所取的微元体，因为与Ａ点相邻的三个微元面上的流体或流动参数反映的是Ａ点的参数，所以在这三个微元面上，流体密度均为ρ（Ａ点密度），且每一个面上流体的三个速度分量都为 （Ａ点速度）。其中，对于dydx微元面，因其与ｘ轴垂直，该微元面上的三个速度分量中， 是法向速度，其产生的法向通量为 ，而另为两个速度分量 则平行于dydz平面，与质量输出输入无关（故图中dydz微元面上的质量通量 ）。 同理，在垂直于y、z方向的微元面dxdz和dxdy上，法向速度分别为 ，质量通量分别为 ，如图6-1所示。按速度与坐标方向一致为正的约定， 、 都是输入通量。于是将这三个通量分别乘以相应的面积dydz、dxdz、dxdy后相加，可得输入微元体的质量流量为 相应地，当流体从与Ａ点不相邻的、分别垂直于ｘ、ｙ、ｚ方向的三个微元面上流出时，由于分别经过dx、dy、dz的距离后其输出时的质量通量将发生变化，如图６-１所示所以输出微元体的质量流量为 由上述两项可得 两一方面，对于图６－１所示的微元体，其瞬间质量为ρdxdydz，所以 或以矢量简洁表示为 其中， 是速度矢量 ν的散度； 是密度ρ随体导数，按第2章中随体导数的定义有 不可压缩流体的连续性方程 对于不可压缩流体，因密度ρ=const，所以连续性方程简化为 不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而且应用广泛，因为工程实际中除了经常遇到不可压缩流体外，不少可压缩流体的流动亦可常密度流体处理。 由连续性方程(6-6)可知，对于不可压缩流体沿ｘ方向的一维流动， ，其连续性方程就是 。这正是第５章中分析不可压缩流体一维流动时曾经用到的条件。 6.1.2 柱坐标和球坐标系中的连续性方程 　　对于以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ｚ为轴向坐标的柱坐标体系见图6－2（a），其连续性方程为 在球坐标体系中，若以ｒ为径向坐标、θ为周向坐标、ψ为经向坐标，见图6-2（b），则连续性方程为 需要指出：任何流体的连续运动，都必须首先满足相应的连续性方程，所以连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程之一。 ６.２　以应力表示的运动方程 　　运动方程是基于流场中的点（微元体）所建立的动量守恒方程，又称为运动微分方程。所谓以应力表示的运动微分方程就是直接根据动量守恒定律得