二部图中的匹配2精选.pdf

单元12.3 二部图中的匹配 第二编图论 第十二章支配集、覆盖集、 独立集与匹配 13.3 二部图中的匹配 《集合论与图论》 1 内容提要 • 完备匹配 – 充要条件: Hall-条件(相异性条件) – 充分条件: t-条件 • k正则二部图 • 无孤立点二部图 《集合论与图论》 2 完备匹配 • 二部图G=V ,V ,E, |V ||V |, 1 2 1 2 M是匹配 |M |=|V | 1 《集合论与图论》 3 霍尔条件 • 又称“相异性条件”: SV , |S | |N(S) | 1 • N(S) = { u | v S, (v,u)E } =  (v) v S S N(S) 《集合论与图论》 4 霍尔定理(婚姻定理) • 定理13.11(Hall,1935): 二部图G有完备匹配 G满足霍尔条件 ( S, |S ||N(S) | ) 《集合论与图论》 5 霍尔定理证明 • 证: () 显然 () (反证) 设G=V ,V ,E是极小反例, 1 2 则存在a ,a V , x V , (a ,x),(a ,x)E. 1 2 1 2 1 2 删除任一个(a ,x)将破坏条件, i 则存在A ,A V , a A , 1 2 1 i i 在A 中只有a 与x相邻, i i |(A )|= |A |. i i 《集合论与图论》 6 霍尔定理证明 • |(A )(A )| 1 2  |(A -{a })  (A -{a })| + 1 1 1 2 2  |(A A )| + 1  |A A | +