第一章 复数与复变函数(1.3-1.4) - 精简.ppt

* §1.3 平面点集的一般概念 一、平面点集 二、区域 三、平面曲线 d z0 一、平面点集 1. 邻域 设 为复平面上的一点， 定义 d z0 (1) 称点集 为 点的 邻域； (2) 称点集 为 点的 去心邻域。 P15 内点 一、平面点集 2. 内点、外点与边界点 (1) 内点 外点 边界点 考虑某平面点集 G 以及某一点 ， (2) 有 外点 (1) (2) 有 边界点 (1) 不一定属于 G ； 在 中， (2) 既有 又有 边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。 P15 内点 外点 边界点 边界点 (1) 不一定属于 G ； 在 中， (2) 既有 又有 边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。 一、平面点集 3. 孤立点 (1) (2) 有 （反之不一定） 的边界点. 的孤立点一定是 P15 否则称为无界集。 则 G 称为有界集， 5. 有界集与无界集 4. 开集与闭集 开集 如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。 一、平面点集 闭集 如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。 定义 若存在一个以原点为中心的圆盘包含 G ， P15 P15 二、区域 1. 区域与闭区域 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集； (2) D是连通的， 不连通 的一条折线连接起来。 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 连通 注 闭区域并非区域 （只有全平面被认为既是区域又是闭区域） P16 区域 1 - 2 + i 闭区域 (角形)区域 例 (1) (2) (3) P16 例1.12 二、区域 3. 单连通域与多连通域 定义 设 D 为区域，若 D 内任一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域。 多连通域又可具体分为二连域、三连域、… …。 否则称为多连通域。 P18 简单闭曲线： 没有重合点或交叉点的连续封闭曲线 三、平面曲线 1. 方程式 在直角平面上 在复平面上 如何相互转换？ (1) (2) 注：必要时还可借助几何特征 i - i (1) 1 - 1 (2) 例 (1) (2) 三、平面曲线 2. 参数式 在直角平面上 在复平面上 例如 考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程. (2) 在复平面上 (1) 在直角平面上 (记住此结果） 三、平面曲线 2. 参数式 在直角平面上 在复平面上 (2) 在复平面上 (1) 在直角平面上 例如 考察 和 的直线段 连接 ? í ì = = = = ) ( ) ( y y x x (记住此结果） 三、平面曲线 3. 有向曲线 定义 带有方向的曲线，称为有向曲线，记为 C。 若指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向， 代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。 则 注：只有正向确定了， 才有意义。 逆时针 区域 三、平面曲线 4. 有向曲线 简单闭曲线的正向一般约定为： 区域边界曲线的正向一般约定为： 当边界上的点 P 顺此方向沿边界 前进时, 所给定的区域始终位于 P 点 的左边。 注意区域可以是多连域。 曲线 重要 §1.4 无穷大与无穷远点 一、无穷大 二、无穷远点 (2) (3) 法则 (1) 无意义。 无意义。 实部虚部是多少? 问题 模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？ 一、无穷大 定义 一个特殊的复数 称为无穷大， 满足 二、无穷远点 1. 无穷远点的概念 定义 在“复平面”上一个与复数 对应的“理想”点， 称为无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点， 因此只能说它是一个“理想”点。 那么，这个“理想”点到底在哪里呢？ 下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。 这样的球面称作复球面。 球面上的 N 点本身则对应到了“复平面”上的无穷远点。 其中，N 为北极，S 为南极。 对复平面上的任一点 用 球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应， 直线将 点与 N 点相连，与球面相交于 点。 p 二、无穷远点 2. 复球面 如图， 某球面与复平面相切， 注 复数 不能写成 或者 *