第一章2·复数与复平面.ppt

* * §1.1 复 数 1. 复数的概念 形如 或 的数称为复数。 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 i称为虚单位,即满足 当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； 当且仅当a=b=0时,z就是实数0； 当虚部b≠0时,z叫做虚数； 当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集. 如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等. 2. 复数的向量表示和复平面 复数可用点z(a,b)表示 用直角坐标系表示的复数的平面称为复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点表示纯虚数. 当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数. 任一实数的共轭复数仍是它本身. 在复平面上,复数 还可以用由原点引向点z的向量 来表示,这种表示方式建立了复数集C与平面向量 所成的集合的一一对应（实数0与零向量对应）.向量 的长度称为复数z的模，记为 |z|或r . 3. 复数的运算 加法 减法 复数的运算，有关复数的模和共轭 复数的性质 乘法 除法 复数的模和共轭复数的性质 4. 复数的三角表示和复数的方根 复平面C的不为零的点 极坐标 ?是正实轴与从原点O到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为 满足条件 的幅角称为Argz的主值，记为?=argz，于是有?=argz=argz+2k?, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos?+isin?) 复数的指数形式 例1.1 求arg(-3-i4). 解： Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k?, k=0,±1,±2,…. 点-3-i4位于第四象限 k=0,±1,±2,…. 例1.2 计算 解： 例1.3 把复数 表示成三角形式和指数形式. 解： 对应的点在第一象限 复数乘法的几何意义 两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于这两个复数的幅角的和. 两个复数的商的模等于它们模的商，商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差. 复数的乘方 r=1时，得棣莫拂(de Moivre)公式 复数的开方 设是 已知的复数，n为正整数，则称满足方程 的所有的复数为z的n次方根，并且记为 . 设 k=0,±1,±2,…. k=0,±1,±2,…. 记 k=0,1,2,…,n-1 k=0,1,2,…,n-1 复数的n次方根是n个复数，这些方根的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的幅角分别等于这个复数的幅角与的0,1,2,…,n-1倍的和的n分之一。 例1.4 求1-i的立方根. 解： 1-i的立方根是 例1.5 计算n次单位根. 解： 立方单位根是 §1.2 复平面点集 1. 平面点集的几个概念 (1) 邻域 集合 称为z0的?邻域，其中?0, 称为z0的去心邻域. (2)内点、开集 若点集E的点z0，有一个z0的邻域 ，则称z0为E的一个内点；如果点集E中的点全为内点，则称E为开集. (3)边界点、边界 如果点z0的任意邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E中的点，则称z0为E的边界点；集合E所有边界点称为E的边界，记作?E . (4)区域 如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来，则称集E为连通集. 连通的开集称为区域. 区域D和它的边界?D的并集称为闭区域，记为 (5)有界区域 如果存在正数M，使得对一切z?E，有 则称E为有界集.若区域D有界，则称为有界区域. *