第一章傅里叶变换.ppt

积分变换 引言 在自然科学和工程技术中，为了把较复杂的运算简单化，人们常常采用所谓的变换的方法来达到目的。如十七世纪，航海和天文学积累了大批观察数据，需要对它们进行大量的乘除运算。在当时，这是非常繁重的工作，为了克服这个困难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数，它将乘除运算转化为加减运算，通过两次查表，便完成了这一艰巨的任务。 十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪，英国著名的无线电工程师海维赛德（Heaviside）为了求解电工学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。 积分变换的理论和方法不仅在数学的许多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术邻域中都有着广泛的应用。 第一章 Fourier变换 1.1 Fourier积分 1.1.1 傅立叶级数的复指数形式 设 是以 为周期的周期函数，如果它在区间 上满足狄利克雷条件： （1） 在 上连续或者只有有限个第一类间断点； （2） 在 上只有有限个极值点。 那么， 在 上就可以展开成傅氏 级数，在 的连续点处，级数的三角形式为： (1.1) 其中， 若令 ， 则(1.1)式可写成 这就是傅立叶级数的复指数形式。 1.1.2 傅立叶积分定理 若 在 上满足下列条件： （1） 在任一有限区间上满足狄利克雷条件；（2） 在无限区间 上绝对可积（即积分 收敛），则有 (1.2) 成立，而左端的 在它的间断点处，应以 来代替。 这个公式称为傅立叶积分公式。 若 为奇函数，则有 若 为偶函数，则有 它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶余弦积分公式。 1.2 Fourier变换 1.1.1 Fourier变换的概念 在(1.2)式中，设 (1.3) 则 (1.4) (1.3)式称为 的傅立叶变换式，可记为 ? 叫做 的象函数，(1.4)式称为 的傅立叶逆变换，可记为 ? 叫做 的象原函数。 当 为奇函数时， 叫做 的傅立叶正弦变换，而 叫做 的傅立叶正弦逆变换。 当 为偶函数时， 叫做 的傅立叶余弦变换，而 叫做 的傅立叶余弦逆变换。 1.2.2 单位脉冲函数及其傅立叶变换 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决. 函数的定义 满足下列两个条件的函数称为 函数： Ⅰ ； Ⅱ 函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图 函数的性质 （1）对任何一个无穷次可微函数 ，有