椭圆的标准方程椭圆定义与标准方程1章节.ppt

数 学 实 验 [1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 椭圆动画.gsp 椭圆的定义 1）平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 2）定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 3）两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距（2c）。 总结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ [1]平面上----这是大前提 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a [3]常数 2a 要大于焦距 2C [二]椭圆方程推导的准备 椭圆的标准方程 如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合。 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程2 如果使点F1 、F2在y轴上，点F1 、F2的坐标分别为F1（0，-c）、F2（0，c）， a、b的意义同上，那么使得方程变为 [二]椭圆的标准方程[1] [二]椭圆的标准方程[2] 练习：判定下列椭圆的焦点在？轴，指明a2、b2，并写出焦点坐标。 将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标 例题一 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 例题一 例题二 题目：已知B、C是两个定点 =6，且 的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。 例题二 . 例题二 求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。 例题三 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2， 例题三 例题三 本题所求点M（x，y）的轨迹方程时，不是直接建立关于x，y之间的关系，而是先寻找x、y与中间变量 , 之间的关系，利用已知关于 , 之间关系的方程，得到关于x，y之间关系的方程，这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法。 练习一 1，平面内两个定点的距离等于8，一个动点M到这两个定点的距离和等于10，建立适当坐标系，写出动点M的轨迹方程。 练习一 如图建立这样的坐标系，则M点的轨迹方程就是 练习二 椭圆 上一点p到焦点F1 的 距离等于6，则P点到另一个焦点的F2 的距离是 多少？ 练习三 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4，b=1，焦点在x轴上。 （2）a=4，c= ，焦点在y轴上。 （3）a+b=10，c= 练习三 （1）答案： 练习四 的两个顶点A，B的坐标分别是（- 6，0）、（6，0），边AC、BC所在的直线的斜 率之积等于 ，求顶点C的轨迹方程。 练习四 解：设点C的坐标是（x，y） 练习五 一束光线垂直于一个墙面。将一块圆形纸板置于光源与墙面之间，墙面上会出现纸板的影子，变化纸板与光线的角度，影子也会发生变化。观察这些影子会出现哪些不同的形状。 设AC的斜率为K1，BC的斜率为K2， 化简得: 又，C点不能在x轴上，否则A、B、C 不成三角形。 故所求点C的轨迹方程是 * 定义与标准方程 罐车的横截面 F1 F2 M 观察做图过程：[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。 F1 F2 M 椭圆定义的文字表述： 椭圆定义的符号表述： [1]建系 [2]列等式 [3]等式坐标化 [4]化简 [5]证明检验 设M（x，y）是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距为2c（c0）， 那么，焦点 F1、F2的坐标分别是（-c，0）、（c，0）。 又设M与F1、F2的距离的和等于常数2a。 由椭圆的定义，椭圆就是集合 因为 所以得 将这个方程移项后两边平方，得 整理得 椭圆的标准方程 注意：等式中带两个或多个根号的时候的去根号， 使等式一侧只有一个根式，然后平方。 上式两边再平方，得 整理得 由椭圆的定义可知， 2a2c,即ac,所以 令 其中 代入上式，得 两边同除以 ，得 这个方程叫做椭圆的标准方程。 它所表示的椭圆的焦点在x轴上， 焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）， 这里 这个方程也是椭圆的标准方程 实际上图2相当于先将图1中的x轴，y轴交换，再将x轴改变方向，因此，只要将方程1中的x，y互换，就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程。 它表示： [1]椭圆的焦点