2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件1.2.1.1解三角形的实际应用举例——距离问题人教A版必修5.ppt

3.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，且两条船与炮台底部都在一条线上，则两船相距( ) (A) 米 (B)30米 (C) 米 (D) 米 【解析】选C.如图所示，由题意知 CO= 米，BO=30米， ∴CB= 米. 4.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向 航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际 航程为_______. 【解析】如图所示，在△ACD中， ∠ACD=60°, ∴ ∴AD=6，即该船实际航程为6 km. 答案：6 km 5.如图，为了测量河的宽度， 在一岸边选定两点A、B，望对 岸的标记物C，测得∠CAB=45°， ∠CBA=75°，AB=120米，求河的宽度. 【解析】在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠CBA=75°，∴∠ACB=60°. 由正弦定理,可得， 设C到AB的距离为CD， 则 ∴河的宽度为 米. 【思考】 【点拨】 　　　　　　 可到达的两点的距离问题 【名师指津】解三角形应用问题的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图； (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个数学模型； (3)求解：利用正弦定理和余弦定理有顺序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的三角形是否具有实际意义，从而得出实际问题的解. 【特别提醒】建立数学模型就是构造出三角形. 【例1】如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直 角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E， AB=2. (1)求cos∠CBE的值； (2)求AE. 【审题指导】由三角形的性质可求出∠CBE的度数，从而可解出cos∠CBE的值；求AE，可在△ABE中利用正弦定理求得. 【规范解答】(1)因为∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,所以∠CBE=15°, ∴cos∠CBE=cos(45°-30°)= (2)在△ABE中，AB=2，故由正弦定理得 【变式训练】在△ABC中，已知A=45°， (1)求cosC的值； (2)若BC=10,D为AB的中点，求CD的长. 【解析】(1)∵ 且0°＜B＜180°, ∴ cosC=cos(180°-A-B)=cos(135°-B) =cos135°cosB+sin135°sinB (2)由（1)可得 由正弦定理得 即 解得AB=14，∴BD=7. ∴CD2=BD2+BC2-2BD·BCcosB =72+102-2×7×10× =37, 所以 【误区警示】(1)问中的符号容易出现错误从而导致第(2)问中的结果出现错误. 　　　　　　 不可到达的两点的距离问题 【名师指津】测量不可到达的两点的距离要注意的问题： 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当. 【特别提醒】构造数学模型的时候，尽量把已知元素放在一个三角形中. 【例2】如图，在河的对岸可以看到两个目 标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距 40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN= 75°，∠NPQ=45°,∠MQP=30°，∠MQN=45°,试求两个目标物Ｍ，N之间的距离. 【审题指导】根据已知条件与求解目标，在相应三角形中，分别利用正弦定理和余弦定理求解. 【规范解答】根据题意，知PQ=40，∠PMQ=30°, ∠PNQ=60°,在△MPQ中，由正弦定理，得 即 在△NPQ中，由正弦定理，得 即 在△MQN中，由余弦定理，知 ＭN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQcos∠MQN 故MN2= 从而 故两个目标物M，N之间的距离是 米. 【互动探究】本题条件若改为：MP=PQ=40米， 米，∠MPQ=120°,∠NQP=75°,又如何求MN的距离呢？ 【解题提示】可先由余弦定理求出MQ，再求出∠MQP,进而求出∠MQN,然后由余弦定理求得MN. 【解析】∵MP=PQ=40，∠MPQ=120°，在△MPQ中，由余弦定理得 ∴MQ2=MP2+PQ2-2MP·PQcos∠MPQ =402+402-2×40×40cos120°=4 800， ∴ 又∵MP=PQ,∠MPQ=120°, ∴∠MQP=30°, 又∵∠NQP=75°,∴∠NQM=45°，在△MNQ中由余弦定理得 ∴MN2=MQ2+NQ2-2MQ·NQc