2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.3.1等差数列的前n项和人教A版必修5.ppt

【思考】 【点拨】 　　　　　　 等差数列前n项和的有关计算 1.等差数列前n项和的应用 （1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解. （2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：Sn= 或Sn=An2+Bn. 【名师指津】 2.依据等差数列的性质得到的结论. （1）当n为奇数时，Sn= （2） =a1+（n-1） 【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 【例1】已知等差数列{an}. (1)a1= a15= Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d. 【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程. 【规范解答】（1）∵a15= +(15-1)d= ∴d= 又Sn=na1+ ·d=-5,解得n=15,n=-4（舍）. （2）由已知，得S8= 解得a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. 【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d, ∵a6=10，S5=5， ∴ 解得 ∴a8=a6+2d=16. 方法二：设公差为d, ∵S6=S5+a6=15，∴15= 即3（a1+10）=15. ∴a1=-5，d= =3.∴a8=a1+（8-1）d=16. 　　　　　　 等差数列前n项和的性质的应用 等差数列前n项和的性质. (1)项数（下标）的“等和”性质： (2)项的个数的“奇偶”性质： 等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an； 【名师指津】 ②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列. 【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100，S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列求出公差，然后求出S110. 【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和 为Sn,则Sn=na1+ 由已知得 ①×10-②,整理得d= 代入①,得a1= ∴S110=110a1+ =-110. 故此数列的前110项之和为-110. 方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ ·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120. ∴S110=-120+S100=-110. 【变式训练】等差数列{an}中，a2+a7+a12=24，求S13. 【解题提示】利用等差数列的性质 Sn= 【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以 a7=8，所以S13= =13×8=104. 【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63， 前n项和为286，求项数n. 【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数 列项数（下标）的“等和”性质： Sn= 来求得. 【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25， an-3+an-2+an-1+an=63. 而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3， 所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22， 所以Sn= =11n=286，所以n=26. 故所求的项数为26. 【变式备选】已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇 数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为7∶6，求中间项. 【解题提