2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.3.2等差数列习题课人教A版必修5.ppt

5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若 求 的值. 【解析】方法一： 方法二：因为 所以设Sn=(2n+3)kn， Tn=(3n-1)kn，k≠0,∴a9=S9-S8=37k. b9=T9-T8=50k.∴ 　　　　　　 已知Sn求通项公式an 【名师指津】数列前n项和Sn与通项公式an的关系. 已知数列{an}的通项公式an就可以求数列{an}的前n项和Sn；反过来，若已知数列{an}的前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公式an. ∵Sn=a1+a2+a3+…+an,∴Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2), 在n≥2的条件下，把上面两式相减可得： an=Sn-Sn-1(n≥2)，当n=1时，a1=S1，所以an= 【特别提醒】an=Sn-Sn-1只对n≥2的正整数成立.由Sn求通项公式an时，要分n=1和n≥2两种情形，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. 【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且当n∈N*时满足Sn=-3n2+6n，求数列{an}的通项公式an. 【审题指导】题目中给出了数列的前n项和Sn的表达式，欲求此数列{an}的通项公式an，可利用an=Sn-Sn-1（n≥2)，然后再验证当n=1时是否成立，可否用统一解析式表示，即可求解. 【规范解答】当n=1时，a1=S1=3, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-[-3(n-1)2+6(n-1)]=9-6n， a1=3符合此式. ∴an=9-6n(n∈N*). 【互动探究】若本例中“Sn=-3n2+6n”改为“Sn=-3n2 +6n +1”,其他条件不变，又如何求通项公式an呢？ 【解题提示】利用an与Sn的关系，即an=Sn-Sn-1(n≥2)求解即可,注意验证n=1时是否成立. 【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]=9-6n,a1=4不符合此式. 故an= 　　　　　　 求数列{｜an｜}的前n项和 【名师指津】求数列{｜an｜}的前n项和的方法策略. 等差数列各项取绝对值后组成的数列{｜an｜}的前n项和，可分为以下情形： (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{｜an｜}就等于数列{an}，可以直接求解. (2)等差数列{an}中，a10,d0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理. (3)等差数列{an}中，a10,d0,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理. 　 总之，解决此类问题的关键是找到数列{an}的正负界点. 【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列{an}，一定要明确从哪项开始为正或从哪项开始为负. 【例2】已知等差数列{an}中，S2=16，S4=24，求数列{｜an｜}的前n项和An. 【审题指导】题目中给出的数列{an}是等差数列，且S2=16，S4=24，由此可先求得首项和公差，即可得通项公式an，欲求数列{｜an｜}的前n项和An，关键是先判断出{an}中哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和. 【规范解答】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d, 由已知列方程组 解得a1=9，d=-2，∴an=11-2n. 令an0，得11-2n0，即n5.5. 设Sn表示数列{an}的前n项和， ∴当n≤5时，an0，An=Sn=-n2+10n； 当n≥6时，an0， An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-…-an =a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+an) =2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+an) =2S5-Sn=2×(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50 ∴An= 【变式训练】在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|} 的前n项和. 【解题提示】由a1=-60，a17=-12，可先求得公差d，分 清哪些项是负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和. 【解析】设数列{an}的公差为d，则d= =3, ∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an＜0,得3n-63＜0，即n＜21.当n=21时，a21=0. ∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数. 设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和， 当n≤20时， Sn′=|a1|+|a2|+…+|an|=-