2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.4.1等比数列人教A版必修5.ppt

6.等比数列{an}中，已知a2=3,a5=24，求a8的值. 【解析】设公比为q,a2=3，a5=24，∴q3=8,a8=a2q6, ∴a8=3×64=192. 【思考】 【点拨】 【点拨】 　　　　　　 等比数列的定义 【名师指津】有关等比数列定义的理解的四个注意点 (1)“从第2项起”这一条件有两层含义.其一，第一项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商. (2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个:其一,强调作商的顺序，其二，强调这两项必须相邻. (3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列. (4)利用定义 =q(q为常数且不为零) {an}为等比数列，这是判断一个数列是等比数列的常用的方法. 【例1】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，试判断数列{an}是否是等比数列？ 【审题指导】要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an-1之比为一常数，已知Sn=2an+1，以此来寻找an与an-1的关系. 【规范解答】∵Sn=2an+1,∴Sn+1=2an+1+1， ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)， ∴an+1=2an， ① 又∵S1=a1=2a1+1, ∴a1=-1≠0，由①式可知，an≠0, 由 =2知{an}是等比数列. 【变式训练】已知数列{an}的通项公式为an=3n， 求证:{an}是等比数列. 【解题提示】利用等比数列的定义. 【证明】∵an=3n,∴an+1=3n+1 ∴ =3(为一个不为零的常数). ∴｛an｝是等比数列. 　　　　　　 等比数列的通项公式的应用 【名师指津】巧用通项公式求等比数列的基本量 (1)在已知a1和q的前提下,可以利用通项公式,求出等比数列中的任意一项. (2)在等比数列中,已知a1,n,q,an四个量中的三个,就可以求出另一个. (3)在已知等比数列中任意两项的前提下,使用an=amqn-m,可求出等比数列中的任何一项,这也是等比数列中任意两项之间的关系. 【特别提醒】要确定一等比数列的通项公式，求出a1，q是关键，而它们往往可用与之有关的式子来求出. 【例2】在等比数列{an}中， (1)a4=2，a7=8，求an； (2)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 【审题指导】由题目可知等比数列中的某些量之间的关系，求其他量，可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1与q，再表示其他量. 【规范解答】(1)因为 所以 由 得q3=4，从而q= 而a1q3=2， 于是a1= 所以an=a1qn-1= (2)因为 由 得q= 从而a1=32. 又an=1，所以32( )n-1=1， 即26-n=20，所以n=6. 【互动探究】若在本例(2)中，去掉“an=1”，其他条件不变，又如何求等比数列{an}的通项公式呢？ 【解题提示】由已知条件列出关于a1，q的方程组，求出a1与q，再写出an. 【解析】因为 由 得q= 从而a1=32. ∴an=a1qn-1=32×( )n-1=( )n-6. 【例】数列{an}的前n项和为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N*)，求数列{an}的通项公式. 【审题指导】本题给出了数列{an}的an与Sn的关系，可充分利用由Sn求an的方法，寻找数列{an}的递推关系，进一步求得通项公式. 【规范解答】∵Sn=a1+a2+…+an ∴an= 又由an=5Sn-3，得an-1=5Sn-1-3(n≥2)， 于是an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an. ∴an= an-1， 由a1=5S1-3，得a1= 知an≠0， ∴ ∴数列{an}是以a1= 为首项，q= 为公比的等比数列， 其通项公式为an= 【变式备选】若数列{an}满足关系a1=2，an+1=3an+2，求数列{an}的通项公式. 【解题提示】利用递推公式变形，构造新数列. 【解析】∵an+1=3an+2,两边加1，∴an+1+1=3an+3, 即an+1+1=3(an+1). 又a1=2，∴an+1≠0,∴ ∴数列{an+1}是以a1+1为首项，3为公比的等比数列. ∴１+an=(a1+1)·3n-1=3·3n-1.∴an=3n-1. 【典例】(12分)等比数列{an}的前三项的和为168，a2-a5 =42，求a5，a7的等比中项. 【审题指导】题目中给出了