2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.4.2等比数列的性质人教A版必修5.ppt

【思考】 【点拨】 　　　　　　 等比数列性质的应用 【名师指津】巧用等比数列的性质简化运算 在等比数列的有关运算中,常涉及到次数较高的指数运算,若按常规解法,往往是建立a1和q的方程(组),这样解起来较麻烦.而采用等比数列性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果. 【特别提醒】运用性质时要注意各项下标的关系. 【例1】若{an}为等比数列，且a1·a9=64，a3+a7=20，求a11. 【审题指导】题目中给出了数列{an}为等比数列，欲求a11，可利用等比数列的性质.由a1·a9=64可知a3·a7=64，然后构造方程求解即可. 【规范解答】∵{an}为等比数列， ∴a1·a9=a3·a7=64，又∵a3+a7=20， ∴ 当a3=4，a7=16时，a3+a7=a3+a3q4=20, ∴1+q4=5，∴q4=4, 当a3=16，a7=4时，a3+a7=a3+a3q4=20, ∴1+q4= ∴q4= ∴a11=a1q10=a3q8=64或1. 【互动探究】若在本例已知条件中去掉“a3+a7=20”，其他条件不变，又如何求a3a4a5a6a7的值呢？ 【解题提示】利用等比数列的性质.在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k，则有aman=apaq= 【解析】∵a3a7=a4a6= =a1·a9=64, ∴a5=±8,∴a3a4a5a6a7=±32 768. 【误区警示】题中易忽略a5的正负两种情况而漏解. 【例】已知{an}为等比数列，若an0，且a2a4+2a3a5+a4a6 =36，求a3+a5的值. 【审题指导】由题目中an0，可知此等比数列的公比q0，应用等比数列的性质：a2a4= a4a6= 化简已知，可求解. 【规范解答】∵a2a4+2a3a5+a4a6=36， ∴ +2a3a5+ =36,∴(a3+a5)2=36， 又∵an0，∴a3+a5=6. 【变式备选】若a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求等比数列{an}的通项公式. 【解题提示】应用等比数列的性质，a1a3= 代换求得a2，再利用已知条件求a1,q. 【解析】∵a1a3= 代入已知，得 =8，∴a2=2. 设公比为q，则前三项为 2,2q，则有 +2+2q=7. 整理，得2q2-5q+2=0， ∴q=2或q= ∴ 故可得an=2n-1或an=23-n(n∈N*). 　　　　　　 等比数列的判定 【名师指津】判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法 =q(q为常数且不为零) {an}为等比数列. (2)等比中项法 =anan+2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列. (3)通项公式法 an=a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列. 【特别提醒】判定一个数列是否为等比数列，首先要检验它是否满足等比数列的前提条件：每项均不为零. 【例2】已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lga1，lga2，lga4也成等差数列，又bn= n=1,2,3,…… 求证：数列{bn}为等比数列. 【审题指导】由题目知首先明确数列{an}各项均为正数，利用lga1，lga2，lga4也成等差数列以及对数的有关运算，结合条件bn= 分情况讨论来判定. 【规范解答】∵lga1，lga2，lga4成等差数列, ∴2lga2=lga1+lga4=lg(a1·a4),∴ =a1·a4. 设等差数列{an}的公差为d，则(a1+d)2=a1·(a1+3d)，∴d2=a1d,∴d(a1-d)=0. (1)当d=0时，{an}为常数列，{bn}也为常数列，此时数列{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列. (2)当d=a1≠0时， =a1+(2n-1)d=2nd， ∴bn= ∴ (n≥1,n∈N*),此时数列{bn}是首项为 b1= 公比为 的等比数列. 综上可知，数列{bn}为等比数列. 【变式训练】已知等比数列{an}中，a1=1，公比为 q(q≠0)，且bn=an+1-an.试判断数列{bn}是否为等比数列. 【解题提示】先求得数列{an}的通项，再分公比q=1 和q≠1两种情况讨论判断. 【解析】∵等比数列{an}中，a1=1,公比为q，∴an=a1qn-1 (q≠0)，若q=1，则an=1，bn=an+1-an=0， ∴{bn}是各项为0的常数列，不是等比数列; 若q≠1，由于 ∴{bn}是首项为b1=a2-a1=q-1，公比为q的等比数列. 【典例】(12分)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数. 【审题指导】四个数成等比数列可设为a，aq，aq2，aq3.又这四个数分别减