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2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件2.5.2等比数列习题课人教A版必修5.ppt

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4.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 =______. 【解析】 答案: 5.在1和128之间插入6个数,使它们与这两个数成等比数列,则这6个数的和为_________. 【解析】由a8=a1q7,得128=q7, ∵27=128,∴q=2,S6= =27-2=126. 答案:126 6.设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn,已知a3=2, S4=5S2,求数列{an}的通项公式. 【解析】由题设知a1≠0且q≠1,Sn= 则 由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0. (q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0, 因为q<1,解得q=-1或q=-2. 当q=-1时,代入①得a1=2,通项公式an=2×(-1)n-1; 当q=-2时,代入①得a1= 通项公式an= ×(-2)n-1, 综上,当q=-1时,an=2×(-1)n-1, 当q=-2时,an= ×(-2)n-1.        求数列的通项公式 【名师指津】累加法求数列的通项公式. 对于数列{an},若an+1-an=f(n+1),则 a2-a1=f(2) a3-a2=f(3) a4-a3=f(4) … … an-an-1=f(n) 各等式相加得: an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+…+f(n) ∴an=f(2)+f(3)+f(4)+…+f(n)+a1. 此方法称为累加法.若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和. 【特别提醒】应用累加法的最终目的是求an,因此要注意n的取值范围,防止出现累加相消后求an+1或an-1的情况. 【例1】已知数列{an}中,a1=7,a2=9,前n项和Sn满足Sn+ Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),试求数列{an}的通项公式. 【审题指导】由题目中给出的Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),可得出an与an-1的关系式,再进一步求an即可. 【规范解答】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)得 Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3). ∵an=Sn-Sn-1 ∴an=an-1+2n-1(n≥3).即an-an-1=2n-1(n≥3). 又a2-a1=9-7=2 ∴an-an-1=2n-1(n≥2). ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1) +a1=2n-1+2n-2+…+21+7 = +7=2n+5. 故数列{an}的通项公式为an=2n+5. 【互动探究】在本例中若条件改为a1=9,a2=11,其他条件不变,又该如何求通项公式呢? 【解题提示】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3),得出an与an-1的关系式,再进一步求an. 【解析】由Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3)得 Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3). ∵an=Sn-Sn-1, ∴an=an-1+2n-1(n≥3).即an-an-1=2n-1(n≥3). 又a2-a1=11-9=2,∴an-an-1=2n-1(n≥2). ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+21+9 = +9=2n+7. 故数列{an}的通项公式为an=2n+7.        等比数列的证明 【名师指津】等比数列证明的常用方法. (1)定义法 (2)等比数列的性质和常用结论 (3)构造新数列法 【例2】若数列{an}首项为1,且2an+1-an=2,求证:数列{an-2}是等比数列. 【审题指导】题目中给出了a1的值以及2an+1-an=2这一关系式,欲证明数列{an-2}是等比数列,需利用2an+1-an=2进行适当变形,构造出an+1-2=k(an-2)的形式. 【规范解答】由2an+1-an=2,得an+1= an+1, ∴an+1-2= (an-2),而a1=1,故an-2≠0, ∴ 又a1-2=-1, ∴数列{an-2}是首项为-1,公比为 的等比数列. 【变式训练】设数列{an}的前n项和为Sn,已知ban-2n= (b-1)Sn.当b=2时,试证明数列{an-n·2n-1}是等比数列. 【证明】由题意得a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,ban+1-2n+1= (b-1)Sn+1,两式相减得b(an+1-an)-2n=(b-1)·an+1, 即an+1=ban+2n

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