2014-2015高中数学必修5课件28份高中数学全程学习方略配套课件3.4.1基本不等式人教A版必修5.ppt

【点拨】 【思考】 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式比较实数大小 (1)在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0,b0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是 应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式. 【特别提醒】在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用. 【名师指津】 【例1】已知a、b是正数，试比较 与 的大小. 【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b是正数；（2）一个“和式”与一个“积式”比较大小，可以利用基本不等式解答. 【规范解答】∵a0,b0,∴ ≥ 0. ∴ ≤ = . 即 ≤ . 【变式训练】若0a1,0b1，且a≠b，则a+b, 2ab,a2+b2中最大的一个是( ) （A）a2+b2 （B） （C）2ab （D）a+b 【解析】选D.∵0a1,0b1,a≠b. ∴a+b ,a2+b22ab. ∴四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择. 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1) 又∵0a1,0b1,∴a(a-1)0,b(b-1)0. ∴a2+b2-(a+b)0,即a2+b2a+b. ∴a+b最大，故选D. 利用基本不等式证明不等式 不等式的证明 （1）多次使用a+b≥ 时，要注意等号能否成立，累加法 是不等式性质的应用，也是证明不等式的一种常用方法. (2)对不能直接使用基本不等式的证明，要重新组合，构造运 用基本不等式的条件，若条件中有一个多项式的和为1，要注 意“1”的代换. 【特别提醒】证题过程中不要漏掉等号成立的说明. 【名师指津】 【例2】已知a,b,c为不全相等的正实数. 求证:a+b+c＞ + + . 【审题指导】由题目可获取以下主要信息：（1）a,b,c为不全相等的正数；（2）所证不等式的结构与基本不等式相符，故可用基本不等式给出证明. 【规范解答】∵a＞0,b＞0,c＞0, ∴a+b≥2 ,b+c≥2 ,c+a≥2 . ∴2(a+b+c)≥2( + + ), 即a+b+c≥ + + . 由于a,b,c为不全相等的正实数,故等号不成立. ∴a+b+c＞ + + . 【互动探究】若条件不变，结论改为a2+b2+c2ab+bc+ac,怎样证明. 【证明】∵a0,b0,c0, ∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca). 即a2+b2+c2≥ab+bc+ca， 由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a2+b2+c2ab+bc+ca. 【变式训练】求证： 【证明】∵ 同理 三式相加，得 当且仅当a=b=c时，等号成立. ∴ 【误区警示】证明此类题要注意等号成立的条件. 【例】已知a,b,c为正实数，且a+b+c=1,求证: 【审题指导】知a+b+c=1,证 可考虑“1”的代换，转化出可用基本不等式的情况. 【规范解答】∵a,b,c为正实数,a+b+c=1, ∴ ≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c= 时，等号成立. ∴ ≥9. 【变式备选】已知a0,b0,a+b=1. 求证： . 【证明】∵a0,b0,a+b=1. ∴1=a+b≥2 ,∴ ≤ ,∴ ≥4. ∵ ≤ ,∴ ≥ . ∴ 当且仅当a=b= 时等号成立. ∴ 【典例】（12分）已知x0,y0，且2x+5y=20,求 的 最小值. 【审题指导】由2x+5y=20可得 =1.注意到 ，可由“1”的灵活运用解答本题. 【规范解答】∵x0,y0, =1, ∴ ………………… 2分 = ………………… 4分 ≥ ………………… 6分 当且仅当 时，等号成立. ………………… 8分 由 解得 . ……………10分 ∴ 的最小值为 . ……………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下： 【即时训练】已知a0,b0,且 ,求a+2b的最小值.