2第二章离散傅里叶变换2007章节.ppt

第二章 离散傅里叶变换DFT及其快速算法 Discrete Fourier Transform  §2.1 离散傅里叶变换（DFT） 周期序列 N＝5的 x(n)=x(n+k5) 特殊的指数周期序列 N＝8：x(n)=exp(j2π/N)n，模＝1，相位是n函数 φ(n) 135°180° 则DFS变换对 §2.1.2 离散傅里叶变换（DFT） 频域上的主值区间与主值序列： DFT的矩阵方程表示 DFT特性： 循环移位 圆周移位 循环卷积过程: 有限长序列的线性卷积： 有限长序列的线性卷积图解： 循环卷积（circular convolution）： 有限长序列的线性卷积图解： 比较线性卷积与循环卷积 两矩形序列的线性卷积与循环卷积图解： 当x(n)= y(n)，表示有限长序列能量 2.2 利用DFT做连续信号的频谱分析 (4) DFT的分辨率 填补零值可以改变对DTFT的采样密度。人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上，我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零后的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零后的长度不同，但其DTFT的结果应是相同的，它们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度。 参数选择的一般原则： 若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频率 ； 根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度 (3) 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的观测时间长度tp： 这里T是采样周期。若tp不变，采样点数N增多，则T变小，也就是fs提高。那么是观测频带宽了，但频率分辨率（间隔）没有改变！ (5)周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号， 信号的频率为 。 可以得到单一谱线的DFT结果，但这是和作DFT时数据的截取长度选得是否恰当有关，截取长度N选得合理， 可完全等于 连续频谱的采样。 一般都取周期整数倍长度。原因是进行DFT意味着需要周期延拓，这样周期延拓后的信号必须和原周期信号相同。 根据x(n)与X(k)的对称性，同样可找到频谱X(k)的实部、虚部与x(n)的共轭偶部与共轭奇部的关系。 分别以xe(n)及x0(n)表示时间序列x(n)的圆周共轭偶部与圆周共轭奇部： 同样应从圆周意义上理解 x(N-0)=x(0)。 可证明: DFT[xe(n)]=Re{ X(k) } DFT[x0(n)]=jIm{ X(k) } ? （6）选频性 对复指数函数 ，进行采样得复序列 x(n)： 0≤n≤N-1 其中q为整数。当信号频率ω0=2π/N进行离散时，x（n）=ej2πnq/N,其离散傅里叶变换为： 写成闭解形式： 可见，当输入频率为qω0时，变换X(K)的N个值中只有 X(q)=N，其余皆为零。如果输入信号为若干个不同但正数倍频率的信号的组合，则经离散傅里叶变换后，在不同的k上，X(k)将会有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。 （7）DFT与Z变换 有限长序列可以进行z变换： 比较z变换与DFT变换，可见，当 z=w-kN 时， 即 图 DFT与z变换 o o o o o o o o o o o X（ejω） X(k) o Re[z] jIm[z] o 0 0 W Arg(Z)=2π/N 0 0.5fs fs f： Hz RAD DOT X(Z) N=12 是z平面单位圆上幅角为 的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。(顺时针分布) 1）X(k)也就是z变换在单位圆|z|=1上等间隔的采样值。 2）X(k)也可看作是对序列付氏变换X(ejω)的采样，采样间隔为： ωN=2π/