D94重积分的应用1章节.ppt

第四节 1. 能用重积分解决的实际问题的特点 例1. 求曲面 例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 备用题 提示: * 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 第九章 所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 ? 的立体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 在点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为? 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d? , (称为面积元素) 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 出的面积 A . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P109) 方法1 利用球坐标方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、物体的质心 设空间有n个质点, 其质量分别 由力学知, 该质点系的质心坐标 设物体占有空间域 ? , 有连续密度函数 则 公式 , 分别位于 为 为 即: 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将 ? 分成 n 小块, 将第 k 块看作质量集中于点 例如, 令各小区域的最大直径 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 k 块上任取一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得 则得形心坐标： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, (A 为 D 的面积) 得D 的形心坐标: 则它的质心坐标为 其面密度 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求位于两圆 和 的质心. 解: 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 故 自重, 求它的质心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、物体的转动惯量 设物体占有空间区域 ? , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束